Пропедевтика теоретико-групповых представлений

Формирование понятия операции тесно связано с формированием одного из центральных понятий современной алгебры - понятия группы. Обучение обобщению и конкретизации является необходимой частью работы по изучению этих понятий.

Успешное изучение с учащимися понятий группы, как и успешное изучение понятия операции, требует проведения работы по его пропедевтике.

Напомним, что группой называется множество с одной операцией, в котором: (1) эта операция ассоциативна, (2) существует нейтральный относительно этой операции элемент, (3) для каждого

элемента данного множества существует симметричный (противоположный, или обратный) элемент. Если операция на данном множестве еще и (4) коммутативна, то группу называют коммутативной, или абелевой.

Входящие в определение понятия группы свойства (1) - (3) позволяют доказать другие свойства, в частности (5); в группе имеется ровно один нейтральный элемент; (6) для каждого элемента группы имеется ровно один симметричный элемент; (7) групповая операция обратима. В определении понятия группы могут быть включены свойства операции (1) и (7), тогда остальные свойства (2), (3), (5) и (6) можно доказать.

Для проведения работы по пропедевтике понятия группы в школе есть все условия. На уроках математики учащиеся неоднократно встречаются с примерами этого понятия. Так, каждое из множеств: множество целых, множество рациональных, множество действительных чисел по сложению - является примером абелевой группы. Примерами абелевой группы являются и рассматриваемые в школе множества: множество отличных от нуля рациональных или действительных чисел по умножению; множество многочленов и множество дробей (алгебраических) по сложению; множество этих дробей (отличных от нуль-дроби) по умножению; множество поворотов с общим центром, множество подобий, множество параллельных переносов относительно их композиции. В учебнике геометрии имеются и примеры конечных групп, не являющихся коммутативными: множества самосовмещений равностороннего треугольника и квадрата относительно их композиции (Геометрия. Учебное пособие для 7 класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., "Просвещение", 1973, с. 98-104).

Рассматриваемые на уроках математики примеры понятия группы позволили проводить работу по пропедевтике этого понятия: выявлять с учащимися его существенные свойства (1) - (3), (5) - (7). При рассмотрении примеров абелевой группы выявлялось и не существенное для понятия группы свойство (4).

Проводимую нами работу по пропедевтике понятия группы можно условно разбить на следующие этапы: во-первых, систематическое выявление существенных свойств понятия (бинарной) операции на примерах этого понятия^*; во-вторых, установление групповых свойств (1) - (7) операции на изучаемых множествах объектов; в-третьих, выявление общности устанавливаемых свойств (1) - (7) на различных множествах объектов.

^* (Описание этой работы было рассмотрено выше.)

Выявление групповых свойств (1) - (7) операции наиболее полно проводится на уроках математики при изучении числовых множеств уже в V классе. В частности, при изучении сложения и умножения на множества рациональных чисел в V классе индуктивно устанавливаются следующие свойства:

Для любых чисел a, b, c из множества рациональных чисел справедливы равенства:

(1) (a + b) + c - a + (b + c);

(2) a + 0 = a;

(3) a + (-a) = 0;

(4) a + b = b + a.

(1) (ab) c - a (bc);

(2) a • 1 = a;

(3) а • 1/a = 1, где a ≠ 0;

(4) ab = ba.

При этом свойства (1) и (4), выражающие ассоциативность и коммутативность сложения или умножения, несколько раз рассматриваются в I-IV классах при изучении действий над натуральными числами, в IV классе при изучении десятичных дробей, в V классе при введении отрицательных чисел и изучении обыкновенных дробей.

Неоднократно, начиная с начальной школы, внимание учащихся обращается на свойство (2), выражающее существование в изучаемом числовом множестве нейтрального относительно сложения или умножения элемента.

Со свойством (3) сложения и умножения на множестве рациональных чисел учащиеся впервые встречаются в V классе. После введения отрицательных чисел рассматривается понятие "противоположные числа", устанавливается, что "для каждого числа есть одно противоположное ему число" (Математика. Учебное пособие для 5 класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., "Просвещение", 1975, с. 33), при этом "сумма двух противоположных чисел равна нулю" (там же, с. 60). После этого свойство (3) сложения на множестве рациональных чисел используется как при выполнении упражнений (там же, упр. № 359 и т. п.), так и при обосновании правила вычитания. При изучении обыкновенных дробей рассматривается понятие "взаимно-обратные числа" (там же, с. 149). Выполнение с учащимися упражнений (№ 852, 859) позволяет формулировать утверждение: "Для каждого отличного от нуля числа есть одно взаимно-обратное ему число". При этом произведение двух взаимно-обратных чисел равно 1 (там же, с. 149). После этого свойство (3) умножения на множестве рациональных чисел используется при выполнении упражнений (№ 852-855) и при обосновании правила деления дробей.

Таким образом, до V класса с учащимися неоднократно устанавливались групповые свойства (1) - (2) и не существенное для понятия группы свойство (4), а в V классе, в дополнение к ним, устанавливались еще и групповые свойства (3), (5), (6). Но это и означает, что учащимся становилась известной совокупность свойств, определяющих абелеву числовую группу по сложению или умножению. Иными словами, с пятиклассниками выяснялось содержание понятия абелевой группы без построения формальнологического определения, а также и без сообщения термина "группа". Все это имеет большое значение для обучения обобщению и конкретизации.

Итогом описываемой работы стало составление с учащимися следующих таблиц.

В данных таблицах свойства (2°) и (3°) представляют конъюнкцию групповых свойств (2) и (5), (3) и (6). Естественно, что таблица 6 рассматривалась с пятиклассниками при изучении положительных и отрицательных чисел на обобщающих уроках по этой теме, а таблица 7 - при изучении обыкновенных дробей. Формулирование учащимися свойств умножения, представленных в таблице 7, облегчалось повторением с ними аналогичных свойств сложения по таблице 6.

Таблица 6

В новых учебниках математики сложение рассматривается в тесной взаимосвязи с вычитанием, умножение - с делением. В частности, при изучении арифметических действий с натуральными числами учащиеся с I класса проверяют вычитание сложением, а со II - деление умножением. В III классе для частных случаев формулируются утверждения, выражающие зависимость между сложением и вычитанием, умножением и делением.

Таблица 7

В IV классе данные утверждения формулируются в общем виде.

Вычесть из числа а число b - значит найти такое число x, которое в сумме с числом b дает a: x+b=a

Разделить число а на число b - значит найти такое число x, при умножении которого на число b получается число a:

xb=а.

(Математика. Учебник. 4 класс. Под ред. А. И. Маркушевича. М., "Просвещение", 1975, п. 32 и 42).

Таким образом, установление неограниченной выполнимости вычитания и деления на изучаемом числовом множестве сводится к установлению существования в нем единственного решения уравнения x+b=a или xb-a для любых чисел a и b из этого множества. Но это означает, что устанавливается свойство (7) обратимости сложения и умножения.

В V классе свойство обратимости (7) для умножения выявлялось при получении правил деления дробей (Математика, Учебник для 5-го класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., "Просвещение", 1976, п. 47).

С учащимися выполнялись следующие упражнения:

а) Назовите число, обратное данному: 7/8; -3/4; 2 и т. п.

б) Будут ли взаимно-обратными числа: 7 2/5 и 5/37; 0,2 и 5 и т. п.?

в) Упростите выражение: (2,89•5/7)•7/5; (x•2/3)•3/2 и т. п.

г) Решите уравнение: 3/4х=1; 0,5x=1 и т. п.

В заключение получали вывод, что для любого, отличного от нуля числа а существует только одно взаимно-обратное ему число 1/a, такое, что a•1/a=1.

Для получения правила деления обыкновенных дробей рассматривалась задача, в которой по заданной величине площади прямоугольника и заданной длине его стороны надо было найти длину другой стороны. Данные величины выражались натуральными числами (40 м² и 5 м) и дробями (3/4 м² и у 5/7 м. Требовалось делить натуральные числа и дроби.

Таблица 8

Делается вывод о неограниченности деления на множестве рациональных чисел; таблица 7 дополнялась свойством обратимости умножения на множестве отличных от нуля рациональных чисел.

(5) Для любых, отличных от нуля рациональных чисел a и b деление всегда выполнимо.

Таким образом, выявление групповых свойств в ходе изучения программного материала в IV-V классах выполнялось при рассмотрении сложения и умножения на числовых множествах и сводилось к ставшей уже привычной для нашей школы работе: установлению основных арифметических законов, сохраняющихся неизменными при всех расширениях числовых множеств; выявлению особой роли нуля при сложении и единицы при умножении; изучению противоположных и взаимно-обратных чисел; установлению обратимости сложения и умножения на числовых множествах.

Работа по пропедевтике понятия группы проводилась нами и в VI-VIII классах при изучении программного материала, когда на уроках встречались с примерами этого понятия; это были и множества многочленов со сложением, и множества алгебраических дробей со сложением или умножением, и множества векторов со сложением, и множества поворотов с общим центром и подобий с их композициями.

Учащимся давалось представление о сложении, вычитании и умножении многочленов, о сложении, вычитании, умножении и делении дробей. Рассматривались таблицы, в которых были приведены свойства сложения и умножения на множествах алгебраических выражений. Например, с учащимися VI класса рассматривалась таблица 9.

Таблица 9

Данная работа проводилась и на уроках геометрии. Например, при изучении в VII классе сложения векторов на последних уроках рассматривалась таблица 10.

Таблица 10

Таким образом, и при изучении примеров операции на множествах объектов нечисловой природы с учащимися могут рассматриваться групповые свойства (1) - (7), которые в составленных для учащихся таблицах частично объединены^*.

^* (Свойство 2° в таблицах объединяет групповые свойства (2) и (5), а свойство 3° - групповые свойства (3) и (6).)

Работа по пропедевтике понятия группы на каждом из рассматриваемых при изучении школьной математики множестве объектов включала, в дополнение к установлению соответствующих отношений между его элементами и выявлению их свойств (1) - (7), еще и выявление общности одних и тех же свойств новых отношений на других множествах объектов. В результате раскрывалась структура изучаемых множеств. Выявление на уроках общности свойств проводилось при помощи сравнения таблиц, содержащих свойства конкретных операций. Например, после изучения сложения векторов и составления таблицы 10 учащиеся сопоставляли свойства сложения векторов, представленные в этой таблице, с ранее выявленными свойствами других операций, представленных, например, в таблицах 6, 7 и др.

После этого учащиеся могли указывать и другие множества, на которых конкретная операция обладает той же самой совокупностью свойств: например, сложение на множестве целых чисел, композиция на множестве поворотов с общим центром и т. п.