г) Симметричные элементы

При сложении противоположных чисел, например 5 и -5, в результате получаем 0 - нейтральный относительно сложения элемент. При умножении взаимно-обратных чисел, например 5 и 1/5, в результате умножения получаем 1 - нейтральный относительно умножения элемент. Будем называть элементы 5 и -5, 5 и 1/5 симметричными.

Вообще, если на множестве M задана некоторая операция *, относительно которой существует нейтральный элемент I ∈ M, то элементом, симметричным элементу a ∈ M, называется такой элемент a' ∈ M, что a * a' = a' * a = I.

Если элемент a' симметричен элементу a, то для операции сложения на данном множестве он называется противоположным и обозначается - a; для операции умножения - обратным и обозначается a^-1 или 1/a.

Если операция задана таблицей, то симметричные элементы можно найти, проследив, на пересечении каких строк и столбцов находится нейтральный элемент. Например, на пересечении второй строки и третьего столбца находится нейтральный элемент R₀, значит, элемент R₂, стоящий над третьим столбцом, является симметричным элементу R₁, стоящему перед второй строкой (табл. 1).

Существование нейтрального элемента относительно операции на данном множестве есть необходимое, но не достаточное условие существования симметричного элемента для каждого элемента этого множества. Действительно, если относительно операции на множестве нет нейтрального элемента, например относительно умножения на множестве четных чисел, то относительно нее в этом множестве нельзя указать симметричных элементов. В множестве может существовать нейтральный элемент относительно заданной операции, но в нем можно указать элементы, для которых симметричные элементы отсутствуют. Например, нейтральным элементом относительно умножения на множестве натуральных чисел служит 1, а натурального числа, симметричного, или обратного, натуральному числу 2, указать нельзя.

Упражнения

19. Какой элемент симметричен нейтральному элементу?

20. Пусть элемент a' симметричен элементу a. Элементом, симметричным элементу a', является элемент (a')'. Чему он равен?

21. Для каждого ли элемента можно указать ему симметричный относительно операции: а) сложения на множестве действительных чисел (как расположены такие элементы на числовой оси?); б) сложения на множестве положительных действительных чисел; в) сложения на множестве векторов; г) умножения на множестве целых чисел; д) умножения на множестве положительных рациональных чисел; е) композиции на множестве перемещений, подобий; ж) пересечения, объединения на множестве подмножеств универсального множества; з) нахождения наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного на множестве натуральных чисел?

22. Приведите примеры операции на множестве, относительно которой в нем для каждого элемента существует или не существует ему симметричный элемент.

23. Пусть * - некоторая операция, заданная таблицей (упр. 6, 8, 10), и a, a' - симметричные, I - нейтральный элемент. Укажите все пары элементов a, I и a, a' такие, что a * I = a и a * a' = I.

24. Рассмотренные примеры операции позволяют увидеть, что если существует нейтральный элемент относительно операции на данном множестве, то он один и тот же для всех элементов этого множества, а если для каждого его элемента можно указать ему симметричный, то различным элементам соответствуют и различные им симметричные элементы. При этом имеет место следующая теорема.

Т. 4. Если операция на данном множестве ассоциативна, то элемент a', симметричный a, единствен, если он существует.

Докажите ее.

д) Обратимость операции

Сложение является операцией на множестве целых чисел. Вычитание на нем выполняется по правилу: вычесть, например, из числа 5 число 7 - значит найти число x, удовлетворяющее равенству 7+x= 5. Число x=-2 называют разностью чисел 5 и 7, обозначая 5-7=-2. Поскольку на множестве целых чисел для любых элементов a, b ∈ Z можно указать единственный третий элемент x ∈ Z, такой, что b+x=a, то вычитание на множестве Z является операцией. При этом вычитание называется операцией, обратной к операции сложения, а операция сложения - обратимой.

Операция * на множестве M называется обратимой, если для любых a, b ∈ M уравнение b * x - а имеет единственное решение x ∈ M.

Умножение является операцией на множестве натуральных чисел. Деление на нем операцией не является, так как, например, паре натуральных чисел 5 и 7 нельзя указать третьего натурального числа x, чтобы 7x=5. Операция умножения на множестве натуральных чисел необратима.

Заданная таблицей 1 операция обратима, так как для каждой пары элементов данного множества соответствующее уравнение на этом множестве имеет единственное решение.

Заданное таблицей 6 умножение на множестве вычетов по модулю 4 необратимо, так как выше было показано, что деление на нем не является операцией.

Рассмотренные примеры позволяют заметить, что заданная таблицей операция обратима, если каждый элемент множества, на котором задана операция, встречается в любой строке или столбце таблицы только один раз.

Приведенные выше примеры обратимой операции являются одновременно примерами коммутативной и ассоциативной операций. Поэтому все сказанное справедливо для всех коммутативных и ассоциативных операций.

Рассмотрим пример ассоциативной, но не коммутативной операции - умножение на множестве подстановок 3-й степени (табл. 2). Элементам этого множества p₂ и p₅ соответствуют два уравнения p₂ X x = p₅ и y X p₂ = p₅, каждое из которых имеет на данном множестве единственное решение. При этом решением первого уравнения является x = p₃, так как p₂ X p₃ = p₅. Решением второго - y = p₄ так как p₄ X p₂ = p₅. Таким образом, паре элементов данного множества соответствуют два уравнения (каждое из них имеет единственное решение), которые между собой могут быть и не равны. Приведенное выше определение обратимой операции справедливо для коммутативной и ассоциативной операции и не годится для случая, когда операция ассоциативна, но не коммутативна. Требуется более общее определение.

Операция на множестве M называется обратимой, если для любых a, b ∈ M каждое из уравнений b * x = a и y * b - а имеет единственное решение x ∈ M и y ∈ M.

В том случае, когда операция коммутативна, данное определение совпадает с ранее приведенным.

Свойство обратимости ассоциативной, но некоммутативной операции можно легко обнаружить, если операция задана таблицей: любой элемент множества, на котором задана операция, встречается только один раз в каждой строке и каждом столбце этой таблицы.

Таблицами задаются операции на конечных множествах. А как выявить обратимость операции на бесконечном множестве?

В этом случае можно использовать зависимость, существующую между наличием свойства обратимости и наличием нейтрального, и для каждого элемента, ему симметричного у ассоциативной операции, заданной на некотором множестве.

Например, операция сложения на множестве целых чисел обратима. На нем относительно этой операции существует нейтральный элемент - 0, а каждому числу соответствует симметричное ему число (-a). Операция умножения на множестве подстановок 3-й степени обратима. На данном множестве относительно нее существует нейтральный элемент - p₀ и каждый элемент имеет себе обратный. Операция умножения на множестве натуральных чисел необратима. На нем есть нейтральный относительно умножения элемент - 1, но нет симметричных элементов (кроме 1). Необратимо умножение и на множестве четных целых чисел (на нем нет ни нейтрального, ни симметричных элементов).

Справедлива следующая теорема.

Т. 5. Если для ассоциативной операции на множестве существует нейтральный элемент и для каждого элемента - ему симметричный, то эта операция обратима.

Справедлива и обратная теорема.

Т. 6. Если ассоциативная на множестве операция обратима, то на нем существует нейтральный элемент и для каждого элемента - ему симметричный.

Упражнения

25. Докажите теорему 5: а) для коммутативной операции; б) в общем виде.

26. Обратимы ли операции: а) сложение на множестве рациональных чисел; б) сложение на множестве векторов; в) сложение на множестве положительных рациональных чисел; г) композиция на множестве поворотов с общим центром; д) умножение на множестве положительных рациональных чисел; е) нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного на множестве натуральных чисел, ж) пересечение и объединение на множестве подмножеств универсального множества?

27. Приведите примеры операций, обратимых (необратимых) на известных вам множествах.

28. Докажите теорему 6: а) для коммутативной операции; б) в общем виде.

Подводя итог изучению операций и их свойств, можно отметить, что некоторые свойства операции зависят друг от друга: наличие одних свойств операции определяет и наличие других ее свойств. Например, из свойства ассоциативности и обратимости операции на данном множестве следует существование нейтрального элемента и для каждого элемента множества, ему симметричного (Т. 6). При этом из существования нейтрального элемента следует его единственность (Т. 3), из существования для каждого элемента множества, ему симметричного элемента, следует его единственность (Т. 4). Обратно, из ассоциативной любой операции на данном множестве и одновременного существования в нем нейтрального элемента и для каждого элемента множества, ему симметричного, следует обратимость этой операции (Т. 3-5).

Но можно указать и такие свойства операции, которые не зависят друг от друга: наличие одного свойства или их совокупности может дополняться наличием некоторого свойства у одной операции и его отсутствием у другой операции.

Коммутативность, ассоциативность, обратимость являются независимыми друг от друга свойствами операции. Операция может быть ассоциативной, но не коммутативной (например, операция, заданная таблицей 2). Коммутативная и ассоциативная операции могут быть обратимыми или не обратимыми операциями (например, сложение и умножение на множестве положительных действительных чисел коммутативны и ассоциативны, но при этом умножение обратимо, а сложение - нет).