в) Нейтральный элемент

При сложении целого числа 7 с нулем в результате получаем то же самое число 7. Для любого целого числа а справедливо равенство a + 0 = a.

При выполнении композиции поворотов (табл. 1) результат композиции любого поворота и поворота R0 совпадает с первым поворотом.

Говорят, что нуль является нейтральным элементом относительно сложения на множестве целых чисел, а поворот R₀ - нейтральным элементом относительно композиции на множестве {R₀, R₁, R₂}.

Вообще, нейтральным элементом относительно некоторой операции * на множестве M называется такой элемент I ∈ M, что для любого элемента a ∈ M а * I = I * а = а.

Нейтральным элементом относительно объединения на множестве подмножеств универсального множества является пустое множество; существует нейтральный элемент и относительно сложения на множестве векторов - им является нулевой вектор.

В то же время можно назвать операции на различных множествах, относительно которых не существует нейтрального элемента. Например, не существует нейтрального элемента относительно умножения на множестве четных чисел. Не существует такого элемента и относительно операции на известных числовых множествах, согласно которой из пары чисел выбирается наибольшее, так как не существует числа, которое бы вместе с любым числом давало то же самое число как наибольшее число второй пары.

Если нейтральный элемент существует относительно операции, заданной таблицей, то одна из строк, а именно строка, соответствующая нейтральному элементу, тождественна строке, расположенной над таблицей; один из столбцов, а именно столбец, соответствующий нейтральному элементу, тождествен столбцу, расположенному слева от таблицы. Верно и обратное. Это позволяет легко находить нейтральный элемент (если он существует) относительно операции, заданной таблицей (см. табл. 1).

Упражнения

16. Существует ли нейтральный элемент (укажите его) относительно: а) композиции перемещений на множестве перемещений;

б) композиции подобий на множестве подобий; в) нахождения наибольшего общего делителя на множестве натуральных чисел; г) пересечения, объединения на множестве подмножеств универсального множества; д) операций, заданных таблицами 2 и 4?

17. Приведите примеры операций, относительно которых на множестве существует нейтральный элемент; не существует его.

18. В рассмотренных выше примерах операции на данном множестве, относительно которой существует нейтральный элемент, такой элемент единственный. Какое можно сделать предположение?

Имеет место следующая теорема.

Т. 3. Если нейтральный относительно операции на данном множестве элемент существует, то такой элемент единственный.

Докажите ее.