б) Ассоциативность операции

Сложение векторов, умножение натуральных чисел являются примерами операции, которая обладает сочетательным свойством, или, как говорят, свойством ассоциативности.

Операцию, обозначим ее *, будем называть ассоциативной на множестве M, если для любых элементов a, b, c из множества M верно равенство (a * b) * c = a * (b * c).

Установление ассоциативности операции требует проведения определенного доказательства. Например, на уроках геометрии в VII классе рассматривается доказательство ассоциативности сложения векторов.

Чтобы показать, что операция на множестве M неассоциативна, достаточно указать три таких элемента a, b, c ∈ M, что (a * b) * c ≠ a * (b * c).

Например, операция деления на множестве положительных рациональных чисел неассоциативна, так как (9/8:3/4):5/2 = 3/2:5/2=3/5, 9/8:(3/4:5/2)=9/8:3/10=15/4. Неассоциативна и заданная таблицей 4 операция, так как для элементов b, c, e из множества E (b ○ c) ○ e = b ○ e = d, b (c ○ e) = b ○ b = c.

Ассоциативность операции * на множестве M определяет, как применять операцию * сразу к трем его элементам. Выражению a * b * с можно придать определенный смысл., заключая в скобки два первых или два последних элемента. Тогда выражение примет вид (a * b) * c или a * (b * c). Так как * есть операция на множестве M, то a * b = u и b * c = v принадлежат множеству M. Значит, (a * b) * c и a * (b * c) можно рассматривать как выражения, в которых участвуют по два элемента множества M: u и c или a и v. Если операция неассоциативна, то элементы u * c и a * v, вообще говоря, различны и выражение а * b * с нельзя определить однозначно. Если же операция ассоциативна, то элементы u * c и a * v совпадают и, следовательно, нет никакой разницы, как расставлены скобки. В каждом случае получается представление одного и того же элемента. Поэтому выражения a * b * c, (a * b) * c и a * (b * c) определяют один и тот же элемент.

Замечание. Справедливы следующие теоремы, примем их без доказательства.

Т. 1. Если операция на множестве ассоциативна для любых трех его элементов, то она ассоциативна и для любого числа его элементов..

Т. 2. Если операция на множестве коммутативна для любых двух элементов и ассоциативна, то порядок любого числа элементов безразличен (она полностью коммутативна).

Упражнения

14. Является ли ассоциативной операция: а) объединения, пересечения на множестве подмножеств универсального множества; б) заданная таблицей 1; в) заданная таблицами, составленными в упражнениях 6-10?

15. Приведите примеры ассоциативной и неассоциативной операций.