Свойства операции на данном подмножестве

а) Коммутативность операции

Сложение натуральных чисел является операцией, для нее выполняется переместительный, или коммутативный, закон: для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Будем говорить, что операция сложения на множестве натуральных чисел коммутативна.

Вообще, если на некотором множестве M задана операция, то она называется коммутативной, когда для любых элементов a и b из множества M верно равенство a * b - b * a.

Так, композиция поворотов с общим центром, сложение векторов, умножение рациональных чисел являются примерами коммутативной операции. Вычитание на множестве целых чисел есть пример некоммутативной операции.

Установление коммутативности операции, заданной на конечном множестве, можно свести к перебору всех возможных пар элементов этого множества и установлению того, что для каждой пары результат выполнения операции не зависит от порядка, в каком берутся элементы этой пары.

Например, так можно установить коммутативность композиции на множестве {R₀, R₁, R₂} - множестве поворотов равностороннего треугольника вокруг его центра, приводящих его к с амосовмещению.

Данный способ не пригоден для установления коммутативности операции, заданной на конечном множестве с достаточно большим числом элементов, а тем более на бесконечном множестве. В этом случае установление коммутативности операции требует общего доказательства, которое обычно сводится к ранее установленной коммутативности другой операции, заданной на другом множестве. Например, доказательство коммутативности композиции поворотов с общим центром сводится к ранее установленной коммутативности сложения чисел (Геометрия. Учебное пособие для 8 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., "Просвещение", 1974, с. 8). Другим примером доказательства коммутативности операции является доказательство коммутативности сложения векторов (Геометрия. Учебное пособие для 7 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., "Просвещение", 1973, с. 82-86).

Чтобы убедиться в отсутствии свойства коммутативности операции на множестве М, достаточно указать хотя бы одну пару таких элементов a и b из множества M, что a * b ≠ b * a.

Например, операция вычитания на множестве целых чисел не является коммутативной, так как для целых чисел 5 и 3 5 - 3 ≠ 3-5. Не является коммутативной операция возведения в степень на множестве натуральных чисел, так как 2³ ≠ 3². Некоммутативна и композиция перемещений (Геометрия. Учебное пособие для 7 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., "Просвещение", 1973, с. 100).

Замечание 1. Если коммутативная операция задана на конечном множестве таблицей, например таблицей 2, то в ней элементы, симметричные относительно главной диагонали, одни и те же (табл. 4).

Верно и обратное: если операция задана таблицей и элементы, симметричные главной диагонали, равны, то операция является коммутативной. Докажите это.

Если указанная симметрия отсутствует, то заданная таблицей операция некоммутативна. Например, операция ○, заданная на множестве E = {a, b, c, d, e} таблицей 5 некоммутативна, так как симметричными относительно главной диагонали являются различные элементы. Так, элементы b и d являются результатами соответственно d ○ c и c ○ d. А это значит, что d ○ c ≠ c ○ d.

Замечание 2. Как показывают разобранные выше примеры, на некоторых множествах возможны операции, когда порядок, в котором берутся элементы из этого множества, существен - перестановка элементов приводит к изменению результатов применения операции. Приведенное ранее определение операции требует уточнения.

Операцией на множестве M будем называть правило, по которому каждой упорядоченной паре (a, b) элементов a и b из множества M соответствует единственный элемент с этого же множества^*.

^* (Операцией на множестве M является отображение MxM в M.)

Упражнения

12. Являются ли коммутативными операции:

а) сложение и умножение на множестве действительных чисел;

б) объединение, пересечение на множестве подмножеств универсального множества;

в) заданные таблицами 2-4;

г) заданные таблицами, составленными при выполнении упражнений 7-10?

13. Укажите другие примеры некоммутативной операции.