а) Операция на данном множестве

Вспомним обычное умножение натуральных чисел, например 5 и 3. Числа 5 и 3 принадлежат множеству натуральных чисел, результат умножения 5•3 совпадает с единственным числом 15, которое также принадлежит множеству натуральных чисел. Верно и общее утверждение: для любых натуральных чисел a и b существует единственное натуральное число с, такое, что ab=c.

Рассмотрим композицию поворотов с общим центром, например R^30° и R^20° с общим центром О. Каждое из отображений R^30° и R^20° принадлежит множеству поворотов с общим центром О, результат их последовательного выполнения совпадает с единственным отображением R^50°, которое также принадлежит множеству поворотов с тем же центром О. Верно и общее утверждение: для любых поворотов с общим центром R^α и R^β существует только один поворот R^α+β с тем же центром, что R^β•R^α=R^α+β.

Несмотря на то, что рассматривались различные множества - множество натуральных чисел и множество поворотов с общим центром нетрудно заметить следующие общие свойства: 1) по определенному правилу для любых двух элементов каждого множества находится третий элемент, 2) такой элемент только один, 3) он принадлежит тому же самому множеству.

Если на некотором множестве можно указать правило, для которого выполняются одновременно все три свойства, то говорят, что на этом множестве задана операция. Так, сложение является операцией на множестве натуральных чисел, а композиция поворотов с общим центром является операцией на множестве поворотов с общим центром.

Вообще, операцией на данном множестве M называется правило, по которому любым двум^* элементам множества M соответствует единственный третий элемент, принадлежащий этому же множеству.

^* (Такая операция называется бинарной.)

Так, правило нахождения наименьшего общего кратного двух натуральных чисел есть пример операции на множестве натуральных чисел. Сложение векторов является примером операции на множестве векторов.

Правило получения третьего элемента по двум элементам некоторого множества не будет операцией на нем, если можно показать существование таких двух элементов данного множества, которым по рассматриваемому правилу не соответствует ни одного элемента данного множества (результат не совпадает ни с одним элементом данного множества), или же можно показать существование двух элементов данного множества, которым по этому правилу соответствует более одного элемента данного множества.

Например, обычное вычитание не является примером операции на множестве натуральных чисел, так как паре натуральных чисел 2 и 5 нельзя поставить в соответствие ни одного натурального числа.

Не является операцией деление (деление на нуль исключается) на множестве {0, 1, 2, 3} - множестве вычетов по модулю 4, так как существуют два элемента этого множества - 2 и 2, которым соответствуют два различных элемента того же множества^*. Действительно, 2:2=1, так как 2•1=2 и 2:2=3, так как 3•2=2. Этого достаточно, чтобы сделать вывод, что деление на множестве вычетов по модулю 4 не является примером операции. Можно показать и существование пары элементов, например 3 и 2, этого множества, для которой результат не совпадает ни с одним элементом этого множества.

^* (Деление a:b на данном множестве означает, как обычно, нахождение по двум элементам a и b этого множества третьего его элемента c, такого, что bc=a, но умножение bc означает нахождение остатка от деления произведения чисел b и c на 4.)

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что одно и то же правило может быть операцией на одном множестве и не быть операцией на другом множестве.

Например, обычное вычитание не является операцией на множестве натуральных чисел, но является операцией на множестве целых чисел; обычное умножение не является операцией на множестве отрицательных целых чисел, но является операцией на множестве целых чисел.

По этой причине говорят не просто об операции, а об операции на данном множестве.

Упражнения

1. Являются ли операциями на данных множествах (в случае отрицательных ответов привести примеры, подтверждающие выводы): а) сложение, вычитание, умножение и деление на множестве: целых чисел; целых отрицательных чисел; четных (нечетных) чисел; положительных рациональных чисел; действительных чисел; б) сложение на множестве {0}, умножение на множестве {1}; в) возведение в степень на множестве натуральных чисел; г) нахождение: наибольшего общего делителя, среднего арифметического, предшествующего числа; наибольшего числа двух данных чисел на множестве натуральных чисел; д) композиция: двух осевых симметрий на множестве симметрий; двух центральных симметрий на множестве центральных симметрий; двух подобий на множестве подобий.

2. Назовите множество и операции на нем, по которым числам 2 и 3 можно поставить в соответствие число: а) 8; б) 2; в) 1; г) 3; д) 5; е) 6; ж)2/3; з)5/2; и) -1; к) 0.

Указание. Назовите как можно больше операций на различных множествах; например, для случая г) операциями на множестве натуральных чисел является нахождение наибольшего, а также последующего числа; на множестве {0, 1, 2, 3, 4} - полной системе вычетов по модулю 5 - возведение в степень (2³=3).