Пропедевтика понятия "операция"

Пропедевтика понятия заключается в предварительном знакомстве учащихся с его существенными свойствами. На этом этапе обычно еще не ставится цель сообщения соответствующего термина и построения формально-логического определения понятия. Такая работа может проводиться с учащимися, если на уроках неоднократно рассматриваются объекты, являющиеся примерами этого понятия. Причем эта работа может проводиться в течение длительного времени: при изучении одних тем школьной программы могут рассматриваться примеры, выявляющие одно свойство понятия, при изучении других тем - другое и т. д. При этом не должна упускаться любая возможность выявления существенных свойств данного понятия в различных комбинациях. Особый интерес представляет возможность неоднократного рассмотрения с учащимися такой комбинации свойств, которая позволяет проводить обобщение и строить с ними определение этого понятия.

Рассмотрим характер и содержание работы по пропедевтике общего понятия операции.

Как известно, операцией на множестве M называется правило, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре элементов из множества M единственный третий элемент этого же множества, или, короче, отображение множества MxM в множество M (MxM={(x, y)| x ∈ M и y ∈ M}). Нетрудно видеть, что примеры понятия операции являются и примерами понятия функции.

В процессе обучения математике в школе с учащимися рассматривается большое число примеров понятия операции на множествах объектов как числовой, так и нечисловой природы. Действительно, обычное сложение и умножение, нахождение наибольшего или наименьшего числа на множествах натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; возведение в степень на множествах натуральных, рациональных, действительных чисел; нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного на множестве натуральных чисел; нахождение среднего арифметического на множестве рациональных, действительных чисел; сложение и умножение на множествах многочленов и дробей; сложение на множестве векторов, а также композиция таких геометрических преобразований, как поворотов с общим центром, параллельных переносов, подобий, - вот далеко не полный перечень примеров понятия операции, с которыми учащиеся постоянно встречаются на уроках математики. Поэтому имеется возможность знакомства учащихся с существенными свойствами этого понятия.

Наша работа по пропедевтике понятия операции состояла из выявления на уроках таких правил соответствия двух элементов рассматриваемого множества третьему его элементу, которые распространяются на все элементы данного множества без всяких ограничений. Знакомство учащихся с понятиями "множество", "элемент множества", отношением "принадлежности элемента множеству" позволило проводить эту работу, начиная с IV класса.

Например, рассматривая с учащимися IV класса умножение натуральных чисел, обращали внимание учащихся на тот факт, что числа 5 и 3 принадлежат множеству натуральных чисел, результат умножения 5•3 совпадает с единственным числом 15, которое также принадлежит множеству натуральных чисел. Другими словами, паре натуральных чисел 5 и 3 соответствует единственное натуральное число 15. Проводя аналогичные рассуждения для других троек натуральных чисел, формулировали затем общее утверждение: любой паре натуральных чисел a и b соответствует только одно натуральное число c, такое, что ab=c.

Описанная работа проводилась и при рассмотрении с учащимися других перечисленных выше примеров понятия операции. В частности, при изучении в VII классе сложения векторов формулировалось и проверялось, теперь уже дедуктивным способом, следующее утверждение: любой паре векторов a и b соответствует единственный третий вектор с, такой, что a+b=c. (Геометрия. Учебное пособие для VII класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., "Просвещение", 1973, с. 81-82).