§ 3. Обучение обобщению и конкретизации при изучении геометрических понятий

Система задач и четыре требования к ней

Переход от понятия с объемом V к другому, с более широким объемом V₁, таким, что V⊂V₁ означает обобщение. Обратный переход означает конкретизацию. Второе понятие в этом случае называют обобщением первого, а первое - конкретизацией второго.

В процессе обучения обобщению и конкретизации при изучении понятий учащийся должен осознать, что включение в первичное содержание понятия свойства, входящего в производное содержание понятия, не изменяет объема понятия, т. е. не ведет к его конкретизации. Если некоторое свойство, входящее в первичное содержание понятия, есть следствие других свойств, то исключение этого свойства также не изменяет объема понятий, т. е. не приводит к обобщению понятия. Такое свойство может быть переведено в производное содержание понятия.

Например, если в определение параллелограмма включить свойство: "Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны", то объем понятия параллелограмма от этого не изменится и нового понятия не получится.

Приведем другой пример. При определении понятия прямоугольника в школьном учебнике в его первичное содержание (в определение) включаются следующие свойства: a₁) Прямоугольник ABCD - параллелограмм. a₂) A=90°. a₃) B=90°. a₄) C=90°. a₅) D=90°(в учебнике говорится: "все углы прямые" (Если из определения исключить свойства a₃, a₄, a₅, то объем понятия прямоугольника от этого не изменится, т. е. исключение свойств a₃, a₄ a₅ не приведет к обобщению понятия прямоугольника. Это объясняется тем, что свойства a₃, a₄, a₅ являются следствиями свойств a₁ и a₂. В то же время включение в первичное содержание параллелограмма свойства: "Один из углов параллелограмма прямой" - приводит к конкретизации понятия параллелограмма - к новому понятию "прямоугольник".

В связи с этим возникает вопрос: как установить, приводит ли включение нового свойства в первичное содержание некоторого понятия к его конкретизации (а исключение - к обобщению)? В решении этого вопроса приходится пользоваться двумя путями.

1) Устанавливать, что включаемое свойство есть следствие свойств, входящих в определение исходного (конкретизируемого) понятия. Если это удается сделать, то делаем вывод, что включение данного свойства в первичное содержание исходного понятия не конкретизирует это понятие (не приводит к сужению объема понятия). Например, установив, что конгруэнтность противоположных сторон параллелограмма есть следствие свойств, входящих в его определение, получаем вывод, что включение этого свойства не конкретизирует понятия "параллелограмм".

2) Выбираем некоторое (обычно, конечное) множество объектов, входящих в объем исходного понятия. Причем среди этих объектов должны быть и такие, которые обладают включаемым свойством. Если множество объектов, обладающих дополнительным свойством, есть собственное подмножество выбранного множества, то включение этого свойства в первичное содержание исходного понятия приводит к сужению объема этого понятия, т. е. к его конкретизации. Например, на рисунке 1 множество D состоит из трех параллелограммов P₁, P₂, P₃, а множество E параллелограммов, имеющих прямой угол (состоит из объектов P₁ и P₃), есть собственное подмножество множества D. Это означает, что прямоугольник есть конкретизация параллелограмма.

Другими словами, чтобы убедиться в конкретизирующем воздействии свойства, включаемого в первичное содержание исходного понятия, необходимо и достаточно убедиться в том, что среди объектов, входящих в объем исходного понятия, существуют как такие, которые обладают вновь включаемым свойством (этим самым устанавливается непротиворечивость этого свойства первичному содержанию исходного понятия), так и такие, которые не обладают указанным свойством (этим самым устанавливается независимость вновь включаемого свойства от первичного содержания исходного понятия).

Аналогичным образом (но в "обратном" порядке) устанавливается, приводит ли исключение некоторого свойства, входящего в первичное содержание понятия, к понятию с более широким объемом, т. е. к обобщению исходного понятия. Если исключаемое свойство есть следствие других свойств из первичного содержания понятия, то его исключение не приводит к обобщению. Если же исключаемое свойство независимо от других свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия, то его исключение приведет к обобщению этого понятия.

Анализ содержания обобщения и процесса обобщения и конкретизации при исключении свойства, принадлежащего первичному содержанию понятия, или включении в первичное содержание нового свойства позволяет сделать вывод, что обучение учащихся обобщению и конкретизации при изучении понятий должно включать в себя решение следующих типов задач.

1. На перечисление свойств понятий, содержащихся в их определении (на перечисление свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия).

2. На выявление и перечисление свойств, являющихся следствием первичного содержания понятия (т. е. на выработку представлений о производном содержании понятия).

3. На установление невозможности одновременного выполнения указанных свойств (на "противоречивые свойства").

4. На установление непротиворечивости свойств.

5. На установление независимости свойств.

6. На усвоение необходимого и достаточного условия конкретизации и обобщения понятия в случае включения или исключения некоторого свойства.

7. На выяснение, является ли одно из двух данных понятий обобщением (конкретизацией) другого (является ли множество объектов, удовлетворяющих определению одного понятия, собственным подмножеством объектов, удовлетворяющих определению другого понятия).

Необходимо иметь в виду, что в конкретных задачах цели, преследуемые тем или иным типом задач, могут быть сформулированы в неявном виде или в явном виде. Из соображений доступности задачи для IV-V классов раскрывают преследуемую цель, как правило, неявно. В задачах на обучение обобщению и конкретизации в VI-VIII классах целесообразно параллельное использование неявного и явного раскрытия преследуемых целей, сочетание неявного подхода с явным.

Важно также отметить, что задачам каждого из указанных типов могут предшествовать подготовительные задачи.

Задачи на выяснение, является ли одно из двух данных понятий обобщением другого, несут в себе несколько дидактических функций. Выделим две из них, важных для обучения обобщению и конкретизации. Во-первых, через них учащиеся осознают, что существуют такие пары понятий, что ни одно из них не является ни обобщением, ни конкретизацией другого. Во-вторых, с помощью такого типа задач учащиеся знакомятся с доступными им способами обобщения и конкретизации понятий, отличными от способа, состоящего в исключении или включении свойства. Следовательно, при обучении обобщению и конкретизации, во-первых, необходимо учитывать необходимость еще одного типа задач:

8. Задачи на сравнение понятий, ни одно из которых не есть обобщение (следовательно, и конкретизация) другого.

Во-вторых, система задач должна отражать в себе все доступные логически возможные способы обобщения и конкретизации понятий. Кроме этого требования, к системе задач на обучение обобщению и конкретизации необходимо предъявить еще два требования. Одно из них вытекает из теоретико-множественного подхода к истолкованию объема понятия и доступности и наглядности сравнения конечных множеств: в задачах по обучению обобщению и конкретизации необходимо широкое использование конечных множеств. Другое требование следует из неразрывной связи обобщения и конкретизации и обязывает обеспечить единство работы по обучению этим мыслительным операциям.

Подводя краткий итог, можно заключить, что в обучении обобщению и конкретизации (при изучении понятий) необходима система задач, удовлетворяющая четырем требованиям:

I. Содержать перечисленные типы задач 1-8.

II. Использовать все доступные логически возможные способы обобщения и конкретизации.

III. Широко использовать конечные множества.

IV. Обеспечивать единство работы по обучению обобщению и конкретизации.

Весьма существенным фактором, обеспечивающим как успех обучения обобщению и конкретизации, так и положительное влияние процесса такого обучения на усвоение изучаемого материала, является то, что каждая из задач перечисленных типов (1-8) есть органическое объединение (в иной форме) традиционных задач, несет теперь большую смысловую нагрузку и связана с другими задачами более широкой целью: научить сравнивать объемы понятий, выяснять, не является ли одно из них обобщением другого.

Сформулированные четыре требования к системе задач на обучение обобщению и конкретизации при изучении понятий представляют собой основу методики обучения указанным мыслительным операциям в процессе изучения математических понятий. При этом необходимо иметь в виду, что совсем не предполагается, чтобы при изучении каждого понятия выполнялись все эти требования. Осуществление перечисленных требований означает их реализацию не в рамках обучения обобщению и конкретизации при изучении одного понятия, а в конечном итоге и рассчитано на длительный срок.

Рассмотрим систему задач и методику обучения обобщению и конкретизации при изучении ряда геометрических понятий в IV, V, VI и VII классах, явно раскрывая при этом их связь с указанными требованиями, с типизацией задач.