§ 2. Пропедевтика обучения обобщению и конкретизации в IV-V классах

Последовательное использование начальных понятий теории множеств и математической логики в новых учебниках позволяет осуществлять на уроках соединение обучения математике с развитием умственных способностей учащихся. В частности, формируемые в школе понятия множества и подмножества позволяют знакомить учащихся с сущностью обобщения и конкретизации и особенностями их применения.

В данном параграфе описывается опыт использования формируемых на уроках математики понятий множества и подмножества для проведения с учащимися IV-V классов работы по пропедевтике обучения обобщению и конкретизации. Приводится система упражнений, которая готовит учащихся к знакомству с сущностью обобщения и конкретизации, служит систематическому использованию теоретико-множественного языка на уроках математики, а также готовит школьников к работе по построению определений формируемых в школе понятий и установлению между ними имеющих место отношений.

Для проведения указанной работы потребовалось формирование у учащихся умений и навыков в установлении отношения включения как между конечными, так и бесконечными множествами. Для учащихся младших классов восьмилетней школы была разработана система упражнений. Важную роль в ней играют упражнения с конечными множествами, задаваемыми списками и характеристическими свойствами. В ходе их выполнения выявляются и закрепляются основные положения, которые в дальнейшем позволяют выполнять такие же упражнения с бесконечными множествами, задаваемыми характеристическими свойствами (термин "характеристическое свойство" учащимся не сообщался).

1. При формировании понятия множества в IV классе выполнялись два вида упражнений.

Упражнения, в которых по характеристическому свойству конечного множества надо было записать это множество списком, и обратные им упражнения, в которых для заданного списком множества надо было указать его характеристическое свойство (Математика. Учебник для IV класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., "Просвещение", 1975, № 109, 110, 112, 118, 124, 125 и др.).

Аналогичные упражнения выполнялись с бесконечными множествами. Последние задавались с помощью фигурных скобок и многоточия. Так, множество натуральных чисел N задавалось следующим образом: N = {1, 2, 3, ...}.

Примеры.

1. A - множество натуральных чисел, кратных 5. Запишите это множество с помощью фигурных скобок, указав несколько первых его элементов и поставив знак многоточия.

2. B = {2, 4, 6, ...}. По какому признаку составлено это множество?

II. Упражнения, в которых различными характеристическими свойствами задано одно и то же множество (список элементов этого множества не приводился), а учащиеся должны были установить их равносильность (записав в случае затруднения это множество списком), и обратные им упражнения, в которых для заданного списком множества требовалось указать различные его характеристические свойства. Как и в предыдущем случае, рассматривались упражнения с конечными и бесконечными множествами.

Примеры.

1) Что можно сказать о множествах A и B, если

а) A - множество двузначных чисел, кратных 11;

B - множество двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы;

б) A - множество решений неравенства 1 < x < 5;

B - множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 4 и др.

2) По какому признаку составлено множество:

а) A = {5, 6, 7, 8, 9};

B = {10, 20, 30, ...} и т. д.?

Хотя явно от учащихся не требовалось указывать различные характеристические свойства заданного списком множества, на уроке это получалось само собой. Например, часть учащихся называла множество В "множеством натуральных чисел, кратных 10", другие учащиеся - "множеством натуральных чисел, оканчивающихся нулем".

Как показал опыт, выполнение упражнений вида I помогало в дальнейшем успешно проводить работу по построению определений формируемых понятий, когда всякий раз в результате рассмотрения некоторого конечного множества элементов - примеров формируемого понятия - формулируется характеристическое свойство всего множества объектов, охватываемых этим понятием. Выполнение упражнений вида II помогало учащимся понимать, почему одному и тому же понятию могут даваться различные определения, учило строить различные определения одного и того же понятия.

Упражнения вида I-II выполнялись с учащимися и в последующих классах.

В V классе при формировании понятия подмножеств на уроках математики устанавливается отношение включения между конечными множествами, задаваемыми списками. В дополнение к этому, с учащимися рассматривались упражнения, в которых отношение включения устанавливалось между конечными множествами, задаваемыми списками и характеристическими свойствами.

Задание множеств списками позволяло определить, какое из двух данных множеств является подмножеством другого. Дальнейшее сопоставление их характеристических свойств помогало обращать внимание учащихся на ту закономерность, что все элементы подмножества обладают некоторым дополнительным свойством. А поскольку это справедливо и для бесконечных множеств, то появлялась возможность установления отношения включения между множествами, как конечными, так и бесконечными, в результате сопоставления их характеристических свойств.

Например, если говорилось о множестве целых чисел и множестве целых четных чисел, то учащиеся делали вывод, что второе множество является подмножеством первого (так как характеристическое свойство второго множества, наряду с общим для обоих множеств свойством "быть целым числом", содержит дополнительное свойство "четности").

Следует иметь в виду, что одно и то же множество может задаваться различными характеристическими свойствами. Поэтому установить отношение включения между множествами в результате сопоставления их характеристических свойств часто можно только после замены одного из характеристических свойств другим, ему равносильным. Пятиклассникам предлагались только те упражнения, в которых отношение включения между множествами можно было сразу установить в результате сопоставления их характеристических свойств.

Ниже приводятся основные виды данных упражнений.

III. Упражнения, в которых два множества задаются списками и для обоих множеств приводятся их характеристические свойства. Учащиеся определяли, какое из множеств является подмножеством другого, и указывали дополнительное свойство, добавлением или исключением которого из характеристического свойства одного множества можно получить характеристическое свойство другого множества. В ходе выполнения этих упражнений учащиеся вначале из двух заданных списком множеств находили подмножество, после чего рассматривались характеристические свойства этих множеств.

В результате их сопоставления выделялось дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества.

Примеры.

Какое из двух данных множеств является подмножеством другого? Подчеркните дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества.

1) A = {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь} - множество месяцев.

B = {июнь, июль, август} - множество летних месяцев.

2) M = {0, 3, 6, 9} - множество однозначных чисел, кратных 3.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - множество однозначных чисел.

3) C = {р, л, м, н, г, б, з, ж, д, в} - множество звонких согласных букв.

D = {б, В, Г, Д, Ж, 3, к, л, м, н, п, р, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ} - множество согласных букв.

4) P = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} - множество двузначных чисел, оканчивающихся единицей.

Q = {21, 51, 81} - множество двузначных чисел, оканчивающихся единицей, и кратных 3.

IV. Упражнения, в которых два множества задаются списками и для одного из них приводится его характеристическое свойство. Требовалось определить подмножество и сформулировать характеристическое свойство второго множества.

Примеры.

1. Определите, какое множество является подмножеством другого. Впишите вместо точек дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества.

а) A = {к, а, н, и, у, л, ы} - множество ........ букв слова "каникулы".

B = {к, н, л} - множество ........... букв слова "каникулы".

б) C = {22, 44, 66, 88} - множество ......... двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы.

D = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} - множество ........... двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы.

В ходе выполнения этих упражнений учащиеся находили подмножество, сравнивая списки элементов, после чего определяли дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества, и вписывали его вместо точек. Характеристическое свойство другого множества оставляли без изменения.

2. Определите, какое множество является подмножеством другого. Укажите дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества. По какому признаку составлено второе множество?

а) M = {весна} - множество времен года, когда цветут сады.

N = {зима, весна, лето, осень} - множество .... .

б) P = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} - множество двузначных чисел, у которых обе цифры одинаковы.

Q = {33, 66, 99} - множество ... .

Учащиеся определяли подмножество, находили дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества. Если было известно характеристическое свойство подмножества, то искомое характеристическое свойство второго множества получалось из данного исключением найденного дополнительного свойства; если же давалось характеристическое свойство надмножества (множества), то искомое характеристическое свойство получалось из данного добавлением найденного дополнительного свойства.

V. Упражнения, в которых два множества задаются своими характеристическими свойствами и, кроме того, приводится список элементов одного из них. В результате сопоставления характеристических свойств учащиеся устанавливали отношение включения между данными множествами, затем по характеристическому свойству составляли список элементов другого множества. Располагая списками элементов обоих множеств, проверяли, правильно или неправильно было найдено имеющее место отношение включения.

Примеры.

1) A - множество праздничных дней: A = {1 января, 8 марта, 1 мая, 2 мая, 9 мая, 7 октября, 7 ноября, 8 ноября}.

B - множество весенних праздничных дней.

Какое множество является подмножеством другого?

Запишите множество В с помощью фигурных скобок и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

2) C - множество нечетных однозначных чисел: C = {1, 3, 5, 7, 9}.

D - множество однозначных чисел.

Какое множество является подмножеством другого?

Запишите с помощью фигурных скобок множество D и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

3) M - множество планет Солнечной системы (записаны в порядке удаления их от Солнца): M = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон}.

N - множество планет Солнечной системы, удаленных от Солнца на меньшее, чем Земля, расстояние.

Какое множество является подмножеством другого? Запишите множество Q при помощи фигурных скобок и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

4) P - множество служебных частей речи: P = {предлоги, частицы, союзы, междометия}.

Q - множество частей речи.

Какое множество является подмножеством другого? Запишите множество Q при помощи фигурных скобок и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

VI. Упражнения, в которых одно множество задается своим характеристическим свойством и приводится список его элементов. По данному характеристическому свойству этого множества учащиеся формулировали характеристическое свойство другого, множества, являющегося подмножеством или надмножеством данного, и составляли список его элементов. Составление списка элементов нового множества позволяло проверить правильности выполнения упражнений вида VI, в частности, давало возможность убедиться, что из данного множества новым характеристическим свойством выделено собственное его подмножество.

Примеры.

1) A - множество однозначных чисел: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Укажите какой-нибудь признак, по которому можно составить множество В, являющееся подмножеством множества А. Запишите множество В списком.

2) C - множество частей света, название которых оканчивается буквой "я": C - {Австралия, Азия}.

Укажите какой-нибудь признак, по которому можно составить множество D, для которого множество C является его подмножеством. Запишите множество D списком.

Выполнение упражнений вида I - VI подготовило учащихся к выполнению упражнений, в которых требовалось устанавливать отношение включения между множествами, задаваемыми только характеристическими свойствами. Вначале с учащимися рассматривались упражнения с конечными множествами, что давало возможность в случае затруднения записывать эти множества списками или хотя бы "представить" их. После этого рассматривались упражнения с бесконечными множествами. Выбор подмножества из двух заданных своими характеристическйми свойствами множеств обосновывался наличием некоторого дополнительного свойства у характеристического свойства подмножества.

Учащимся предлагались следующие виды упражнений.

VII. Упражнения, в которых характеристическими свойствами задаются два множества, находящиеся между собой в отношении включения. Учащиеся определяли множество, являющееся подмножеством другого множества, в результате сопоставления данных характеристических свойств и выявления, наряду с общими для элементов обоих множеств свойствами, некоторого дополнительного свойства.

Примеры.

Даны два множества.

1) Какое множество является подмножеством другого? Укажите дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества:

а) A - множество космонавтов СССР,

B - множество космонавтов СССР, совершивших групповой полет;

б) M - множество черных кошек,

N - множество кошек;

в) C - множество букв, симметричных относительно прямой,

D - множество букв;

г) E - множество углов,

F - множество острых углов;

д) P - множество целых чисел, кратных 5,

Q - множество целых чисел, кратных 10 (кратных 5 и кратных 2).

2) Укажите свойство, исключением которого из признака, задающего одно множество, получается признак, задающий другое множество. Какое множество является подмножеством другого?

а) A - множество космонавтов СССР,

B - множество космонавтов;

б) C - множество хвойных деревьев,

D - множество деревьев;

в) E - множество четных целых чисел,

F - множество целых чисел;

г) P - множество дробей,

Q - множество правильных дробей.

VIII. Упражнения, в которых характеристическим свойством задавалось одно множество. По данному характеристическому свойству этого множества учащиеся формулировали характеристическое свойство другого множества, являющееся характеристическим свойством надмножества или подмножества первого множества. В последнем случае надо было указывать хотя бы один элемент, принадлежащий второму множеству.

1) Запишите, по какому признаку можно составить множество B, чтобы множество A было его подмножеством:

а) A - множество полевых цветов;

б) A - множество монет желтого цвета, находящихся в обращении в СССР;

в) A - множество однозначных чисел, кратных 4, и т. п.

2) Запишите, по какому признаку можно составить второе множество B, чтобы оно было подмножеством множества A:

а) A - множество двузначных чисел;

б) A - множество домашних животных;

в) A - множество учебников и др.

Назовите несколько элементов множества B.

3) Запишите, по какому признаку можно составить: множество B, чтобы B с A; множество C, чтобы A с C. Какое множество из двух множеств B и C является подмножеством другого множества:

а) A - множество букв русского алфавита;

б) A - множество чисел, кратных 15;

в) A - множество учеников класса.

При выполнении упражнения вида VIII ответы учащихся были не однозначны. Например, для множества однозначных чисел, кратных 4, в качестве его надмножества называлось и множество чисел, и множество однозначных чисел, и множество чисел, кратных 4, и множество однозначных четных чисел, и множество чисел, кратных 2. А для множества букв русского алфавита в качестве его подмножества называлось и множество букв русского алфавита, симметричных относительно прямой, и множество букв русского алфавита, симметричных относительно двух прямых, и множество гласных букв русского алфавита и т. п.

Чтобы в результате выполнения упражнений вида III-VIII у учащихся не сложилось представления, что любые два множества обязательно находятся в отношении включения, на уроках рассматривались упражнения, в которых из двух данных множеств ни одно не является подмножеством другого (при этом рассматривались случаи, когда пересечение этих множеств есть пустое множество, не пустое множество).

Кроме того, с этой точки зрения оказались полезными упражнения, в которых рассматривается более двух множеств, причем таких, что взятые попарно, они могут находиться или не находиться в отношении включения.

Примеры.

Какое из данных множеств является подмножеством другого:

а) A - множество четных однозначных чисел;

B - множество нечетных однозначных чисел;

C - множество однозначных чисел;

б) M - множество чисел, кратных 2;

N - множество чисел, кратных 6;

P - множество чисел, кратных 3;

в) D - множество треугольников;

E - множество прямоугольных треугольников;

F - множество остроугольных треугольников;

G - множество тупоугольных треугольников?

Упражнения I-VIII выполнялись не только в IV и V классах при изучении, соответственно, понятий множества и подмножества, но и при изучении других тем как в этих, так и в последующих классах.

Нетрудно видеть, что выполнение упражнений III-VIII сводится к рассмотрению элементов одного и последующему рассмотрению элементов другого множества, являющегося подмножеством или надмножеством первого множества. Но это и означает, что всякий раз при выполнении данных упражнений учащиеся тренируются в проведении обобщения и конкретизации.

Как показал опыт, формирование у учащихся умений и навыков в установлении отношений между данными множествами (как конечными, так и бесконечными) и понимание сущности обобщения и конкретизации достигается в ходе выполнения упражнений вида III, V и VII. А выполнение упражнений вида IV, VI и VII (когда характеристическое свойство одного множества используется для построения характеристического свойства другого множества) готовит учащихся к работе по построению определения одного понятия при помощи уже известного им определения другого понятия.