Понятия "обобщение" и "конкретизация", особенности их применения

В математике под обобщением понимают переход от рассмотрения элементов одного множества M к рассмотрению элементов другого множества N, такого, что его собственное подмножество N' изоморфно множеству M, а под конкретизацией - обратный переход от рассмотрения элементов второго множества к рассмотрению элементов первого. Например, очень часто множество объектов, охватываемых обобщаемым понятием, не входит в множество объектов, охватываемых обобщенным понятием: последнее может лишь содержать собственное подмножество, изоморфное множеству объектов, охватываемых первым понятием. В этом спуск по общности - ограничение понятий - принципиально отличен от восхождения - обобщения понятий: спускаться можно по той же лестнице, подниматься же можно, строго говоря, переступив на другую лестницу. Отмеченная тонкость важна на более высоком, по сравнению со школьным, уровне.

В частности, в курсе алгебры и теории чисел производится обобщение понятия числа в указанном выше смысле. Например, поле рациональных чисел рассматривается как минимальное расширение кольца целых чисел, в котором операции сложения и умножения обладают свойствами, называемыми основными законами арифметики, а деление всегда выполнимо, если только делитель отличен от нуля. При этом замена одного такого минимального расширения кольца целых чисел другим минимальным его расширением не приводит к получению нового числового множества, отличающегося по своим свойствам от первоначально построенного, так как оказывается, что любые два минимальных поля, являющиеся расширением кольца целых чисел, изоморфны^*. Поэтому изоморфные кольца или поля не считаются различными. Обычно говорят о единственности, с точностью до изоморфизма, минимального поля, являющегося расширением, например, кольца целых чисел.

^* (Поля P и P1 называются изоморфными, если существует обратимое отображение одного из них на другое, при котором для любых элементов a и b из P и соответствующих элементов a' и b' из P₁, сумме a+b и произведению ab соответствуют соответственно сумма a'+b' и произведение a'b')

Новые учебники математики позволяют формировать у школьников понятие о приемах обобщения и конкретизации и особенностях их применения, упражнять учащихся в применении этих приемов. В рамках школьного курса знакомство учащихся с сущностью обобщения и конкретизации оказывается возможным для частного случая их теоретико-множественной трактовки: если множество M является подмножеством множества N, то переход от рассмотрения элементов множества M к рассмотрению элементов множества N есть обобщение, обратный переход - конкретизация (Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения, т. 1. М., ИЛ, 1957, с. 31).

Д. Пойя говорит о двух направлениях обобщения:

1) замене постоянной переменной,

2) отбрасывании ограничений

и, соответственно, о двух направлениях конкретизации:

1) замене переменной постоянной,

2) внесении некоторого ограничения (там же, с. 31).

Нетрудно убедиться, что первое направление обобщения есть частный случай второго: замену постоянной переменной (переход от рассмотрения множества треугольников к рассмотрению множества n-угольников) можно считать и отбрасыванием ограничения (переход от рассмотрения множества многоугольников с тремя сторонами к рассмотрению множества многоугольников). Это замечание справедливо и для конкретизации. Поэтому в дальнейшем отмеченные направления обобщения и конкретизации различаться не будут.

Отбрасывание ограничения означает, что из характеристического свойства, задающего не пустое множество, в результате исключения какого-либо свойства строится характеристическое свойство другого множества, являющегося надмножеством первого. Соответственно, внесение некоторого ограничения означает, что из характеристического свойства, задающего не пустое множество, в результате добавления какого-либо дополнительного свойства строится характеристическое свойство нового множества, являющегося подмножеством первого. В этом случае необходима проверка того, не будет ли новое множество пустым. Поэтому появляется задача установления существования объектов, обладающих построенным свойством, для чего и рассматриваются так называемые теоремы существования. В школе эта проверка сводится к указанию 1-го или нескольких элементов, обладающих построенным характеристическим свойством.

Обобщением будет и выявление некоторого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и распространение этого свойства на все элементы другого множества, являющегося надмножеством данного. Например, установленное свойство всех элементов конечного множества B = {a, b, ..., c} может распространяться на все элементы его надмножества A = {a, b, ..., c, ...}, являющегося бесконечным множеством. Формулировка такого свойства для множества A является утверждением, требующим доказательства, что каждый элемент множества A обладает найденным свойством, и, обратно, каждый элемент, обладающий этим свойством, является элементом множества A.

Например, на уроках геометрии в школе так устанавливается свойство биссектрисы угла, свойство срединного к отрезку перпендикуляра. В обучении в тесном единстве с обобщением применяется конкретизация. Так, при установлении свойства, которым обладают все элементы бесконечного множества A = {a, b, ..., c, ...}, приходится вначале рассматривать некоторое конечное его подмножество, например B = {a, b, ..., c}, т. е. совершать переход от рассмотрения элементов некоторого множества к рассмотрению элементов его подмножества.

Понимание особенностей применения приемов обобщения и конкретизации связано с пониманием следующего общего положения: все элементы множества, являющегося подмножеством другого множества, наряду с общими для всех элементов обоих множеств свойствами, обладают еще рядом дополнительных свойств. Действительно, каждое свойство всех элементов некоторого множества является свойством всех элементов его подмножества. А это и означает, что совокупность свойств всех элементов первого множества включается в совокупность свойств, которыми обладают все элементы его подмножества.

В случае применения конкретизации - перехода от изучения элементов некоторого множества к изучению элементов второго множества, являющегося подмножеством первого, - каждое свойство, установленное для всех элементов исходного множества, остается справедливым и для всех элементов его подмножества. Поэтому, если доказано какое-либо свойство для всех элементов множества, его доказательство для всех элементов подмножества сводится к построению примерно следующего высказывания: "Так как всякий элемент второго множества является элементом первого множества, а всякий элемент первого множества обладает некоторым свойством, то и всякий элемент второго множества обладает этим свойством".

Данное высказывание всегда истинное, так как в нем легко усматривается схема логического закона - закона силлогизма. "Индивидуальное" доказательство проводится для каждого из тех дополнительных свойств, которыми обладают все элементы подмножества. Например, при изучении на уроках геометрии свойств прямоугольника выясняется: "Так как прямоугольник есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами. Кроме того, прямоугольник обладает свойствами, указанными в следующей теореме и ее следствиях" (Геометрия. Учебное пособие для VII класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., "Просвещение", 1973, с. 8-9).

В случае применения обобщения - перехода от изучения элементов некоторого множества к изучению элементов его надмножества - вначале устанавливаются и доказываются свойства всех элементов первого множества, а затем - свойства всех элементов его надмножества. Так как все элементы последнего обладают только частью свойств всех элементов исходного множества и поскольку заранее неизвестно, какие свойства всех элементов исходного множества сохраняются, то, даже располагая свойствами всех элементов исходного множества, нельзя сразу сказать, какими свойствами обладают все элементы его надмножества. Поэтому свойства всех элементов надмножества приходится устанавливать и доказывать вновь. А понимание того обстоятельства, что они составляют часть уже известных свойств, которыми обладают все элементы исходного множества, облегчает их выявление. При этом, если хотя бы один элемент надмножества не обладает каким-либо свойством, которым обладают все элементы его подмножества, то установление этого факта является доказательством того, что все элементы надмножества не обладают данным свойством.

Например, свойство конгруэнтности диагоналей справедливо для каждого элемента из множества прямоугольников и не имеет места для каждого элемента его надмножества - множества параллелограммов. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть пример параллелограмма, не являющийся примером прямоугольника. Установление для всех элементов надмножества свойства, которыми обладают все элементы исходного множества, сопровождается проведением нового доказательства (несмотря на то, что доказательство этого свойства у всех элементов исходного множества проводилось).

Так, несмотря на проведение доказательства свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности для отношения конгруэнтности, соответствующие доказательства этих же самых свойств необходимы при последующем изучении более общего отношения подобия.

Таким образом, часть свойств, установленных для всех элементов некоторого множества, сохраняется, часть из них теряет свою силу при переходе к изучению элементов нового множества, являющегося надмножеством исходного множества. При этом некоторые из них заменяются новыми при обобщенном их понимании.

Например, для всех элементов из множества прямоугольных треугольников справедливо свойство, известное как теорема Пифагора, которое не имеет места для всех элементов более широкого множества - множества треугольников. Для всех элементов последнего справедливо более общее свойство - теорема косинусов, для которой теорема Пифагора является частным случаем.