Об интуитивном и логическом (Галламов М.М.) (Таганрогский государственный педагогический институт) (УДК 378.1)

( В данных тезисах рассматривается вопрос о сочетании интуитивного и логического в преподавании математики.)

 Многие вещи нам непонятны не потому,
 что наши понятия слабы: но потому,
 что сии вещи не входят в круг наших понятий.

Козьма Прутков.

Преподавание математики в средних школах, лицеях и гимназиях ведется по специальным программам на разных уровнях, с различными требованиями. Специфика этих учебных заведений (технических, гуманитарных, экономических, педагогических направлений) выдвигает разные требования к преподаванию математики, связанные с тем, какие разделы математики освещать и на каком уровне. Первое требование обычно легко выполнить - оно определяется спецификой учебного заведения. Второе требование выполнить труднее - оно связано с квалификацией самого педагога, с педагогическим коллективом, традициями, материально-технической базой и т. д. и т. п., но все-таки, в первую очередь, с уровнем учащихся и их заинтересованностью (имеется в виду для учебных заведений, которые имеют только старшие классы).

Рассмотрим, какие принципы следует класть в основу преподавания математики с учетом квалификации педагога и уровня учащихся.

Вначале поясним, какое содержание мы вкладываем в термин "принцип" Под принципом здесь понимаем некоторую форму любых суждений интуитивных представлениях изучаемого предмета и принимаемое в качестве постулата. Отметим, что эти принципы в сознании обучаемого воспринимаются как естественные, так как они являются формализацией его интуитивных знаний.

Известно, что для строгого изложения школьного курса математики необходим аксиоматический метод. Аксиоматический метод вкратце можно охарактеризовать как совокупность принципов (в нашем понимании), выработанных на основе интуиции, порожденной современной математической культурой, с системой формально-логических правил. Отметим, что на создание современной математической культуры ушли тысячелетия.

Вследствие чего вряд ли можно плодотворно использовать аксиоматический метод в преподавании школьного курса математики.

В данных тезисах предлагается один из путей решения этой проблемы посредством естественного сочетания интуитивного знания учащегося об изучаемом предмете с формально-логическим подходом в изучении этого предмета.

Вначале педагог должен определить уровень интуитивных знаний, которым обладают учащиеся об изучаемом предмете, на основании этого, сформулировать естественную систему принципов, далее посредством умозаключений, а также интуитивных представлений изучать данный предмет. При необходимости, если потребуется дать более глубокие познания о предмете и если при этом данная система принципов не позволяет этого сделать, то ее нужно либо дополнить, либо видоизменить.

Приведем в качестве примера, когда изучаемым предметом является топология. Специалистам математикам известно, насколько сложна и абстрактна эта область математики.

1. Определение интуитивного представления о топологии.

Интуитивно ясно, что геометрические свойства фигур не вполне исчерпываются сведениями об их метрических свойствах (размерах, углах т. д.). Остается еще "кое-что" за переделами геометрии. Какой бы длинной линия (веревка, провод и т. д. ) не была, она может быть замкнутой или нет, если линия замкнута, то она может сложным образом "заузливаться". Две (или более) замкнутые линии могут зацепляться одна за другую различными способами. Тела, их поверхности могут иметь "дырки". Эти свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при растяжениях без разрывов или сжатиях без складок. Такие свойства тел и изучает топология.

2. Формулировка принципов, которые кладутся в основу изучения топологии.

Принцип непрерывности. Растяжения без разрывов, сжатия без складок геометрической фигуры называются непрерывными преобразованиям ее.

Топологический принцип. Свойства фигур, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях, называются топологическими свойствами.

Удачно сформулированные принципы позволяют избежать того тяжелого утомительного процесса, связанного с введением терминов и получения результатов, необходимых для изучения интересных свойств (с этим хорошо знакомы как педагоги, так и профессионалы-математики). Приведем в качестве примера достаточно трудную задачу, решение которой учетом сформулированных принципов является не таким уж трудным.

Задача: Показать, что вокруг всякой замкнутой линии, лежащей в плоскости, можно описать квадрат [1, стр. 8].

Описанная выше методика изложения топологии применена в книге В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича "Наглядная топология".

Методика такого сорта является естественным порождением аксиоматического метода в математике; для этого достаточно познакомиться с историей развития и становления аксиоматического метода (см., например [2, стр. 9-61:254-260; 3, стр. 7-52].

Такая методика применялась как в написании научных работ, так и учебников. Так, например, К. Ф. Гаусс в 1816 г. в доказательстве своей основной теоремы алгебры многочленов (любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень в поле комплексных чисел) использовал недоказанный факт: плоская линия, соединяющая две точки, лежащие по разные стороны от прямой, пересекает эту прямую. Этот факт был настолько интуитивно ясен всем математикам того времени, что он, с их точки зрения, и не требовал доказательств [4, стр. 71].

Второй пример относительно учебника А. М. Лежандра "Начала геометрии", написанного в 1794 году для студентов "Высшей нормальной школы", готовящей учителей старших классов. Эта книга в течение 40 лет оказывала решающее влияние на преподавание геометрии. В ней автор доказывает, что сумма углов треугольника равна я. Но доказать это - все равно, что доказать пятый постулат Евклида; поэтому Лежандр достигает своей цели, только заимствуя у интуиции некоторые простые принципы, неявно включающие аксиому параллельности, и все его искусство сводится к выбору в качестве этих принципов настолько правдоподобных положений, что ни читатель, ни даже, несомненно, сам автор не замечают, что речь идет фактически о новых ограничительных положениях. Для доказательства того, что сумма углов треугольника не может быть больше π, Лежандр допустил, что длина прямой бесконечна (это, конечно, естественно, но с современной точки зрения требует доказательства). А для доказательства того что сумма углов треугольника не может быть меньше π, Лежандр использует следующее естественное предположение, что через произвольную точку, лежащую внутри угла всегда можно провести прямую, которая пересекает стороны угла (с современной точки зрения это тоже требует доказательства)

Более подробно по этому поводу см. [5, стр. 335-344]. Этот пример отображает тот факт, что в качестве принципов можно отбирать те интуитивные представления, которые равноценны известным аксиомам или теоремам.

На современном этапе эта методика практически используется во всех учебниках по математике. В качестве примера приведу учебники по геометрии, которые знакомят с геометрией, не используя все аксиомы групп аксиомы принадлежности, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиома о параллельных и аксиомы непрерывности. В этих учебниках при изложении материала опираются на интуицию. Так, например, с формальной точки зрения тот факт, что четыре заданные точки на прямой имеют тот и только тот порядок, который мы обычно изображаем на прямой, требует доказательства [3; теорема 5, стр. 61]. Или биссектриса в треугольнике пересекает сторону, противоположную той вершине, из которой она выпущена, то же требует доказательства. Но все эти факты подаются таким образом, что и не возникает вопроса о их доказательстве, т. е. они становятся принципами в нашем понимании.

Литература

1. Болтянский В.Г. , Ефремович В. А. Наглядная топология. Биб-ка "Квант". - М:Наука. - 1982.

2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. -М:ИЛ. -1963.

3. Гильберт Д. Основания геометрии. - Москва, Ленинград: ОГИ Гостехиздат.-1948.

4. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. I :Наука. -1989

5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей геометрии, т. И. -М. :Наука. -1987.