а) Коммутативная группа

Будем рассматривать множества с заданной на каждом из них одной операцией. Рассмотрим, например, множество целых чисел Z с обычным сложением и множество {R₀, R₁, R₂} с определенным таблицей 1 умножением.

Несмотря на то, что: а) различна природа элементов данных множеств, б) различно число их элементов (первое множество бесконечное, второе конечное), в) различна природа заданных на них операций, можно указать ряд общих для них свойств.

Действительно, кроме того, что на каждом из этих множеств задано по одной операции, в каждом из них: 1) эта операция коммутативна, 2) ассоциативна, 3) обратима, 4) существует нейтральный элемент, 5) такой элемент только один, 6) для каждого элемента множества существует симметричный элемент, 7) такой элемент только один.

Любое множество с заданной на нем одной операцией, обладающее свойствами (1-7), называют коммутативной, или абелевой, группой. Последняя будет конечной, если множество конечное; число элементов этого множества определяет порядок группы. Так, рассмотренное выше второе множество с умножением является примером конечной, коммутативной, или абелевой, группы порядка 3, а первое множество со сложением - примером бесконечной коммутативной группы.

Построим определение коммутативной, или абелевой, группы. Мы знаем, что некоторые свойства задаваемой на множестве операции зависимы друг от друга. Поэтому в наше определение могут не входить все свойства (1-7), в него следует включить только независимые друг от друга свойства. Такими свойствами будут свойства (1-3). Включив их в искомое определение, с их помощью можно доказать свойства (4-7) (Т. 3, 4, 6). Независимыми свойствами являются и свойства (1, 2, 4, 6). Включив их в искомое определение, можно доказать остальные свойства (5, 7), а затем и (3) (Т. 3-5).

Таким образом, можно построить два различных определения.

Определение 1. Коммутативной, или абелевой, группой называется множество G₀ с одной операцией, в котором эта операция коммутативна, ассоциативна, обратима.

Определение 2. Коммутативной, или абелевой, группой называется множество G₀ с одной операцией, в котором эта операция коммутативна, ассоциативна, существует нейтральный относительно данной операции элемент, для каждого элемента множества G₀ существует симметричный ему элемент.

Для распознавания того, являются ли множества элементов с одной операцией коммутативными группами, можно пользоваться любым из этих определений. В том случае, когда множество конечно и операция на нем задается таблицей, более удобным оказывается определение 1.

Действительно, из таблицы легко видеть такие свойства операции, как коммутативность (симметрия таблицы относительно главной диагонали) и обратимость (каждая строка и столбец таблицы содержат все элементы множества, на котором задана операция). По таблице можно обнаружить и ассоциативность операции.

Для распознавания того, является ли коммутативной группой, например, множество векторов со сложением, более удобным оказывается определение 2. На множестве векторов операция сложения коммутативна, ассоциативна, в нем существует нейтральный относительно сложения элемент - 0, для каждого вектора a существует ему противоположный вектор (-a).

Примером коммутативной группы порядка 1 будет множество {1} с обычным умножением. Так как 1 • 1 = 1, то умножение на этом множестве является операцией, коммутативной, ассоциативной, в нем существует нейтральный относительно умножения элемент - 1, этот же элемент обратен сам себе. Множество {1/2, 1, 2} с обычным умножением коммутативной группой быть не может, так как результат умножения, например, элементов 2 и 2 не принадлежит данному множеству - умножение на нем операцией не является.

Таким образом, при распознавании того, является ли данное множество коммутативной группой, для получения утвердительного ответа требуется выявление всех свойств, которые имеются в одном или другом ее определении, для отрицательного же ответа достаточно убедиться в невыполнимости хотя бы одного из этих свойств.

Упражнения

29. Является ли коммутативной группой:

1) множество натуральных чисел N относительно а) сложения,

б) умножения, в) нахождения наибольшего общего делителя, г) нахождения среднего арифметического;

2) множество целых чисел Z относительно а) сложения, б) умножения;

3) множество Z₂ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} относительно а) сложения, б) умножения;

4) множество {-1, 1} относительно умножения;

5) множество {..., 1/9, 1/3, 1, 3, 9, ...} относительно умножения?

30. Является ли коммутативной, или абелевой, группой:

1) множество поворотов с общим центром относительно их композиции;

2) множество перемещений относительно их композиции;

3) множество подобий относительно их композиции?

31. При выполнении упражнений 7-10 были составлены таблицы умножения на множествах самосовмещений равностороннего треугольника, квадрата, прямоугольника. Являются ли примерами коммутативной группы множества с операцией, задаваемой этими таблицами?

б) Группа

Рассмотрим таблицу, задающую умножение на множестве подстановок 3-й степени (табл. 2). Как видно из таблицы, операция умножения некоммутативна - нет симметрии таблицы относительно главной диагонали. Например, на пересечении 3-й строки и 6-й колонки стоит элемент P₄, совпадающий с результатом умножения элементов P₂ и P₅, симметричным ему относительно главной диагонали является элемент P₃, стоящий на пересечении С-й строки и 3-й колонки и совпадающий с результатом умножения элементов P₅ и P₂. Тогда множество подстановок 3-й степени относительно умножения нельзя назвать коммутативной группой. В то же время в этом множестве 1) операция умножения ассоциативна, 2) операция обратима - в каждой строке и каждом столбце таблицы содержатся все подстановки 3-й степени, 3) существует нейтральный относительно умножения элемент - подстановка P₀, 4) такой элемент только один, 5) для каждой подстановки существует взаимно-обратная ей, 6) такая подстановка только одна.

Таким образом, множество подстановок 3-й степени с умножением обладает всеми, кроме свойства коммутативности операции, свойствами, которыми обладает всякая коммутативная группа. Данное множество с умножением называют группой. Очевидно, всякий пример коммутативной группы будет и примером группы.

Определение группы можно получить из определения коммутативной, или абелевой, группы, исключив из него свойство коммутативности операции. Как и в случае с коммутативной группой, можно получить два соответствующих определения группы.

Определение 1. Группой называется множество G с одной операцией, в котором эта операция ассоциативна и обратима.

Определение 2. Группой называется множество G с одной операцией, в котором эта операция ассоциативна, существует нейтральный относительно этой операции элемент, для каждого элемента существует симметричный ему элемент.

Не вошедшие в определение 1 свойства (3-6) можно доказать; соответственно, не вошедшие в определение 2 свойства (4, 6), а затем и (2) также можно доказать. А это значит, что оба определения группы равносильны. Каждое из этих определений задает один и тот же класс объектов, любой его представитель является группой. Поскольку всякий пример коммутативной группы является и примером группы, то класс объектов, охватываемых определением группы, включает в себя класс объектов, охватываемых определением коммутативной, или абелевой, группы; обратное неверно.

Упражнения

32. Являются ли примерами группы:

а) множество самосовмещений равностороннего треугольника относительно их композиции;

б) множество самосовмещений квадрата относительно их композиции;

в) множество перемещений относительно их композиции?