Введение

Характерной чертой происходящего научно-технического прогресса является небывало интенсивная генерализация и специализация различных областей знаний, научных теорий, концепций. Наиболее ярким примером генерализации знаний может служить появление науки кибернетики. Она возникла как обобщение ряда точных наук, наук о живых организмах, наук об обществе и др. Процессу генерализации характерно создание новых теорий на стыке ряда уже сложившихся наук. В настоящее время получили глубокое развитие различные направления когда-то единой науки "радиотехника"; в частности, в самостоятельные отрасли знаний выделились радиокосмическая связь, управление на расстоянии и др.

Процессы генерализации и специализации происходят и внутри одной и той же отрасли знаний. В математике, например, создана высоко абстрактная теория структур, результатами которой пользуются почти все другие отрасли математики (и не только математики). В то же время в математике идет такая специализация знаний, что не всегда специалисты одной отрасли математики понимают специалистов другой отрасли математики.

Процессы генерализации и специализации знаний развиваются в диалектическом единстве, дополняют друг друга. Генерализация знаний развивается так, что открывает широкие возможности применения обобщенных знаний к ряду конкретных наук, конкретных областей знаний. Например, результаты, язык и аппарат общей теории структур применяются к изучению конкретных структур (групп, полей, геометрических преобразований и др.), поэтому специалист, приступающий к изучению теории групп, может воспользоваться, как известными, результатами, полученными при изучении общей структуры. Необходимо иметь в виду и то, что генерализация знаний строится не на пустом месте, а представляет собой обобщение ряда теорий, появившихся в результате специализации.

Отмеченный объективно проходящий процесс генерализации и специализации знаний оказывает и будет оказывать определенное влияние на преподавание математики в школе.

Прежде всего, школа в целом должна подготовить учащихся к пониманию процессов генерализации и специализации знаний. Курс математики, как это будет показано в публикуемом пособии, располагает для этого богатыми возможностями.

Отметим далее, что процесс генерализации и специализации школьного курса математики уже начался. В настоящее время повысился уровень абстрактности школьного курса математики, все более отчетливо осознается необходимость создания единого курса математики, объединяющего в себе арифметику, алгебру, начала анализа и геометрию. В прошедшую перестройку в этом направлении сделан уже первый шаг: в IV и V классах изучается единый курс математики. Вошедшие в школу факультативные занятия представляют собой отражение процесса специализации: на факультативных занятиях учащиеся углубленно изучают отдельные вопросы математики. В очередной реформе среднего математического образования его генерализация и специализация будут представлены еще более отчетливо.

В школе не представляется возможным изучать процессы генерализации и специализации, но школа может готовить учащихся к пониманию этих процессов, обучая учащихся обобщению и конкретизации, через овладение которыми учащимся будет раскрываться суть процессов генерализации и специализации.

Представление об обобщении и конкретизации у учащихся формировалось всегда, однако делалось это стихийно, не под руководством учителя, а как результат, сопутствующий текущему изучению программного материала. Некоторые учащиеся овладевали этими понятиями. Другие учащиеся не замечали ни проводимых в курсе математики обобщений, ни конкретизации изучавшегося материала. Это наносило серьезный ущерб общей математической подготовке школьника.

В новых условиях обучение обобщению и конкретизации необходимо проводить целенаправленно, добиваться осознанного усвоения понятий "обобщение" и "конкретизация", овладения приемами обобщения и конкретизации при изучении доказательств, решении задач и формирования понятий. Прочно вошедший в школу теоретико-множественный подход изучения программного материала создает благоприятные предпосылки и для обучения обобщению и конкретизации. Теоретико-множественная трактовка понятий "обобщение" и "конкретизация" позволяет делать это системно, внести элемент осознанности как в действия преподавателя, так и в процесс усвоения понятий "обобщение" и "конкретизация" учащимися.

Понимание процессов обобщения и конкретизации - один из путей освоения новых программ, уровень абстрактности которых значительно выше, чем всех предшествующих программ. Учащихся теперь надо не только научить пониманию действий над числами, но и подготовить к пониманию "операции" вообще. Учащимся надо освоить обобщенное понимание функции как отображение множеств с элементами произвольной природы (например, преобразование). Трудными для усвоения (в силу своей абстрактности) являются и понятия производной, интеграла, дифференциального уравнения и многих других. Изучение материала в достаточно обобщенном виде наиболее экономно, но оно будет действенным, если вместе с тем учащиеся будут обучаться и конкретизации, применению общих положений к частным случаям рассматриваемых ситуаций: для учащихся значительные трудности представляют применение формул производных для конкретных рассматриваемых ситуаций; еще большие трудности представляет отыскание первообразных.

Из изложенного следует, что осознанное овладение процессами обобщения и конкретизации будет содействовать формированию у учащихся прочных знаний программного материала и, как следствие, будет служить средством активизации мыслительной деятельности учащихся, их активности при усвоении знаний. Эффективная активизация мыслительной деятельности учащихся возможна только на основе прочных знаний учащегося.

Обучать школьников обобщению и конкретизации можно повседневно (с IV по X класс), на любом программном материале. Возможности проведения этой работы раскрываются в публикуемом пособии. В нем сначала раскрывается теоретико-множественное содержание понятий "обобщение" и "конкретизация", а затем освещаются возможности обучения учащихся обобщению и конкретизации и их применений к изучению школьного курса математики с IV по X класс.