Дмитрий Сергеевич Аничков (1733-1788)

Философ-просветитель, ученик и соратник первых профессоров Московского университета Н. Н. Поповского, А. А. Барсова. О нем говорили современники: «Характер твердый, но скромный и благородный», от природы одарен умом. Философия и математика были его любимыми науками. По происхождению Аничков - типичный разночинец. Отец служил монастырским подьячим. В 1755 г. в числе шести лучших учеников Троицкой семинарии Д. С. Аничков был прислан в Московский университет для продолжения образования по классу риторики. Годы учения в университете под руководством Н. Н. Поповского, А. А. Барсова ознаменовались блестящими успехами.

За учебу, участие в научной деятельности пять раз награждался золотой медалью. Студентом опубликовал в университетском журнале «Полезное увеселение», философскую работу «О бессмертии души» и злую сатиру «Сон», в которой высмеивал низкопоклонство перед иностранцами. В 1762 г. выступил с речью «О мудром изречении греческого философа: рассматривай с рассуждениями». В ней вслед за Ломоносовым и Поповским указывал на роль науки в обществе, на ее распространение среди россиян. После окончания университета был оставлен преподавателем университетской гимназии. За успехи в учении, активную деятельность в развитии университетской науки, участие в воспитании юношества в университете был назначен исполняющим обязанности инспектора Московской гимназии. Здесь расцвело его дарование, особенно в написании учебных книг по арифметике, алгебре, тригонометрии, имевших широкую известность в последней четверти XVIII в.

Особый интерес представляет его диссертация на звание профессора. Она была написана на тему «Философское рассуждение о начале и происшествии натурального богопочитания у разных, а особенно невежественных народов» (1769). В ней Д. С. Аничков как просветитель-деист объяснял происхождение религиозных верований из-за чувства страха и «удивления» человека перед силами природы, что расходилось с догматом церкви. Диссертация была изъята как «вредная» и впервые в истории российской публично сожжена «рукой палача» на Лобном месте в Москве. В то время Екатерина II еще играла роль «просвещенной монархини», что и спасло автора от заключения в крепость.

Д. С. Аничков внес большой вклад в развитие передовой философской мысли России, общественно-политических идей второй половины XVIII в.

Из речи «Слово о ... понятиях человеческих»

(Печатается по изданию: Аничков Д. С. Слово о... понятиях человеческих.- Сборник императорского Общества истории и древностей Российских. М., 1779. В речи, которую произнес Д. С. Аничков на торжественном собрании Московского университета 30 июня 1779 г., развита мысль, что в познании жизни, мира большую роль играют чувства и понятия, которые являются сутью любой вещи или явления. Подчеркнуто, что нередко имеется «излишнее упование на чувства свои», недооценивается роль разума, без чего понятия сформировать нельзя. Мысли Д. С. Аничкова перекликаются с идеями французских просветителей XVIII в.)

... С вашего позволения приступаю теперь к посильному моему рассуждению о превратных понятиях человеческих, происходящих от излишнего упования, излагаемого на чувства, и испрашиваю притом вашего любоохотного внимания.

Многие из смертных имеют такое обыкновение, что они о вещах, чувствам их подверженных, производят такое понятие и такими оные быть чают, какими представляются им от чувств, а того не знают, что такое их понятие и представление, в уме произведенное, совсем не соответствуют истинным вещей составлениям и надлежащим оных свойствам. Не знают того, что чувства наши, при следующих токмо обстоятельствах, не представляют нам ложного: 1) когда оные суть целы и неповреждены. Ибо как слепой о цветах пристойным образом рассуждать не может, так и страждущий горячкою или другою сей подобною болезнию не в состоянии бывает распознавать разного вкусу в различной ему предлагаемой пище; 2) когда чувствам нашим подверженные предметы находятся от оных в надлежащем расстоянии. Ибо в противном случае, слабее действуя предметы в чувственные наши орудия и движение слабейшее в мозгу нашем производят и бывают причиною того, что душа наша, темные произведши о тех действовавших предметах понятия, удобно впадает в заблуждение; 3) когда, наконец, средина, то есть тела, между предметом и чувственными нашими орудиями находящаяся, например воздух, вода, стекло всегда бывают однообразны. Ибо в противном случае, если средина разнствует против прежнего своего состояния и положения, то и предмет в отменнейшем виде глазам представляется. Например, весло, опущенное в воду, при солнечном сиянии кажется преломленным. Но не наблюдающие, при чувствовании сих обстоятельств, обыкновенно величайшим подвергаются заблуждениям. Так, например, по причине великой отдаленности представляют себе звезды наподобие зажженных точек, хотя оные в самой вещи суть чрезмерной и удивительной величины. Так многие вещи почитают за маловажные для того только, что чувства их ничего, к сведению принадлежащего, не обретают в оных; хотя оные, по внутреннему своему составлению и внешнему виду, разным, любопытства достойным, подлежат испытаниям. О правильных и порядочных движениях, примечаемых в телах небесных, понимают большею частию так, что оные таких движений не имеют потому только, что чувствам их представляются иногда движущимися, иногда неподвижными, а иногда возвращающимися на прежнее свое место.

Равным образом и о собственных ума своего действиях и переменах, рассуждая по внешним токмо обстоятельствам, производят часто такое понятие, какое с природными оного свойствами ни мало не согласно. Так, например, память, одну из способностей душевных, представляют себе вместилищем понятий, которая, напротив того, не что иное есть, как способность душевная вещи, помощью воображения приведенная на ум, признавать за те же самые, какими оные прежде чувствам их представлялись. И сие то особливо многих развратных предрассуждений и разных, непосредственно из того происходящих предосудительных действий обыкновенно бывает причиною. Почему и заблуждения, из сего мутного источника проистекшие, из превратных, говорю, понятий, и разлившись по всему роду учения, столько усиливаются, что впадшие в оные показывают, наконец, не лучше бессловесных, в рассуждении всех своих предприятий, начинаний и действий. Большею ж частию зависит сие от того, что зараженные предрассуждением чувств первоначальные свои понятия о вещах, яко темные и сбивчивые, но непосредственно служащие для произведения ясных и подробных, не стараются превращать в таковые; а особливо, когда они всякую вещь с великим поспешанием, не употребляя притом надлежащего внимания, рассматривают обыкновенно; хотя причиною тому будет или небрежение их и нерачение, или непохвальная привычка, или, наконец, такая склонность, чтоб своими мыслями то выше облаков взлетать, то вниз спускаться и всегда с одного на другое перескакивать место. То есть не углубляют они мыслей своих в рассматривании внутренних и наружных составлений какой-либо вещи; но не успев одну вещь разобрать надлежащим образом, поспешают к рассматриванию другой; почитая разум свой правилом и мерою всех вещей, понятия свои не оным, как бы и надлежало, но самые вещи своим соизмеряют понятиям. Почему хотя разум их и почитается зерцалом; токмо они предметы не в настоящем виде и существе усматривают в оном, и свои идолы, как Веруламий (Имеется в виду Бэкон, Фрэнсис (барон Веруламский) (1561 - 1626) - английский философ, родоначальник английского материализма.) называет, или вымысленные, или врожденные, понимаемым вещам приписывают, и так больший часто порядок или большее равенство вымысляют, рассуждая по одним токмо своим склонностям, зараженным уже предрассуждением чувствований. Так, например, населяют луну такими жителями, какими и наша земля населена, не исследовав прежде того, в рассуждении всех ли принадлежностей и свойств луна сходствует с нашею землею. Утверждают также, что четыре суть стихии, или первоначальные основания тел, и всякой стихии два токмо качества приписывают, из которых одно называя сильнейшим, а другое слабейшим, и какое им нравится, такое и во всех стихиях быть чают уравнение. И чтоб какие-либо явления, в сих или других телах чувствами их примеченные, с самым их положением тем более согласовали; то на сей конец вымышляют бесчисленные другие, которые от одного токмо обманчивого чувства представления зависят, а не от здравого разума и основательного рассуждения.

Да и не удивительно: ибо высокомерных и высокопарящих умом своим людей замыслы редко сходствуют с самыми вещами, а потом какой вред причиняет собственному их знанию такая необузданная вольность, о том хотя и не наше дело рассуждать; однако и из сего можно понять, что и самые великие умы, утверждаясь на одних токмо чувствах при вымышлении чего-нибудь, остаются без чаемой пользы и истощеваются втуне, когда не имеют отношения к самым опытам и порядочно учиненным наблюдениям. Кратко сказать: все тако поступающие люди и попускающие превратным своим понятиям, происходящим от единственного упования на чувства свои, сильнее вкорениться в своей голове не усумневаются потом и самой противоборствовать истине, не усумневаются, говорю, утверждать и сего, что все в свете сем бывает по случаю, а не с довольною причиною.

Но пусть тако мыслящие докажут нам, что или болезнь бывает без повреждения союза в человеческом составе, или радость без чувствования совершенств, а печаль без чувствования зла, и скажут наконец, что свет сей, толикое в рассуждении самого себя представляющий благоустроение, сам собою или по слепому случаю составлен. Но если бы они в таких своих размышлениях здравому своему последовали разуму, как и один утверждает стихотворец: счастлив, говорит он, тот, кто, желая узнать настоящую чего-нибудь причину, не полагается на одни свои чувства и не последует в том никакому другому предводителю, кроме своего разума, яко первейшего наставника и нелицемерного приятеля душе его; то бы чрез посредство сего дошли они до заключения таких следствий, где одна вещь имеет бытие свое для другой, там должно быть и намерению; а что производится с намерением, то заключает в себе и сие, из чего понято можно, для чего та вещь имеет свое бытие. Ибо намерение есть представление дела, которое намеревающий, с помощию к тому принадлежащих средств, желает и может привести к окончанию. Пусть тако мыслящие обратят взор свой на чудное мира сего строение, то весьма приятное и прелестное глазам их представится позорище. Там в одном блестящем своде увидят они оное удивительное светило, которое, послав пред собою зарю, яко предвозвестницу шествия своего, выходит потом и само, яко жених, увенчанный славою, из своего брачного чертога, и аки гордый исполин обтекает всю вселенную. Там приметят они другое величайшее небесное тело, которое, находя себя недовольным к освещению рассыпанных по лицу земному обитателей, заимствует свет от первого оного светила и, прогоняя ночной мрак, одним обещает приятное успокое-ни от подъятых днем трудов, а другим посреди кипящих и с сильным ветром борющихся волн морских безопасное прохождение. Там зрение их другими редкими и удивительными предметами поражено будет, из которых, одно другого предваряя, уму их, яко полномочному повелителю, на рассмотрение представ, оправдают себя пред ним в том, что они сходственно с намерением своего творца свои отправляют действия и стремления к совершенству столь премудро устроенной громады. Самые презрительные гадинки приведут их в такое недоумение, что они бытие их почли бы мечтою, если бы собственные глаза в том их не уверили. Беспрестанное, например, обращение крови, составляющее продолжение жизни их, члены, находящиеся в надлежащем движении, и искусство в расположении частей, чтоб одна для другой служить могла и чрез то способствовать к сохранению жизни, более любопытство их удовольствовать могут, нежели большие существа, в коих то же самое расположение членов примечается, токмо в большем виде. Увидеть, что возвышенные горы и наклоненные долины с тем установлены премудрым природы правителем, чтобы способствовать им к собранию и соединению вод. Разделяющие сей земной шар и разливающиеся по обширным странам реки для того взаимно соединяются между собою, чтобы служить к пользе не человеческой токмо, но и прочих населяющих мудрое сие творение животных. О! если бы наконец не правомыслящим о вещах можно было и части, видимый сей свет составляющие, ясно рассмотреть и понять все взаимные вещей между собою отношения, то бы увидели они, что нет ни одной пылинки, которая бы без намерения и довольной причины сотворена была. Ибо в противном случае все бы животные истаевали гладом, если бы тучная земля не произрастала плодов; но не была б и земля плодоносна, если б не было благораст-воренных воздухов и орошающих оную свыше благовременных дождей. И так сия преудивительная связь в творениях...

...Но противомыслящие, то есть имеющие излишнее упование на представление своих чувств, еще стоят в своем упорстве и еще сомневаются верить тому, что все в мире сем бывает с довольною причиною. Не открыто нам, говорят они, еще и поныне, и чувствами своими не понимаем мы того, каким образом производится прилив и отлив воды морской, и магнит ли притягивает к себе железо, или обратно железо магнит. Но сожалительно, когда не понимают они того внутренними своими чувствами, что многого незнание составляет великую часть мудрости и что разум их, как теснейшими пределами ограниченный, в союз всех вещей проникнуть не может.

Притом нередко случается с ними также и сие, что они, не довольны будучи своим состоянием, желают другого, совсем невозможного и, не получив того, несправедливо ропщут на всеведущего, для чего он не открыл их чувствам препятствующих причин в получении желаемого; совсем не ведущие сего, что мы в таковых случаях на представление чувств своих полагается не долженствуем...

Из «Теоретической и практической арифметики...»

Титульный лист книги Д. С. Аничкова 'Теоретическая и практическая арифметика...'

(Печатается по изданию: Аничков Д. С. Теоретическая и практическая арифметика. М.. 1764. Впервые издано в Санкт-Петербурге в 1764 г. Особенность данного пособия состоит в том, что в нем автор стремится изложить учебный материал логически последовательно с учетом современных математических достижений, знаний и методических приемов изучения математики. Учебник состоит из глав: «О началах арифметики»; «О числах одного роду»; «О числах в разных родах»; «О содержании, пропорции и прогрессии арифметической и геометрической»; «О дробях или ломаных числах»; «О логарифмах»; «О десятичных дробях»; «О практической арифметике» (решение задач). В каждой главе формулируется определение, дается теорема, ее доказательство, решение примеров, задач, примечание. Большое внимание уделено связи теории с практикой. Учебник Д. С. Аничкова сыграл важную роль в разработке последующих пособий по арифметике, особенно при открытии народных училищ в последней трети XVIII в.)

ПРЕДУВЕДОМЛЕНИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ СПОСОБЕ УЧЕНИЯ

Математический способ учения есть порядок, который математики употребляют в своем учении.

§ 2

Сила сего порядка состоит в том, чтоб от самых легчайших о вещах понятий начинать учение и оттуда выводить надлежащие истины; а из сравнения сих истин между собою находить новые предложения.

§ 3

Таким образом, математики, чтобы соответствовать сему порядку, начинают свое учение с определений, которые обыкновенно занимают первое место во всякой науке. После того дают знать, что есть основание, требование, теорема, задача, а к некоторым из сих предложений, в случае надобности, присовокупляют прибавления и примечания для уверения ж и ясности предложений, сообщают доказательства.

§ 4

Итак, определение есть ясное понятие, чрез которое вещь отличается от других и из которого выводится все прочее, что можно разуметь об оной вещи.

§ 5

В математических науках больше всего стараться должно о подробных и совершенных понятиях, касающихся до определения вещей; а особливо когда надобно будет совершенно доказывать теоремы.

§ 6

Чего ради в последующих определениях не должно находиться таким словам, которые бы не были или в предыдущих определениях изъяснены, или бы не могли приняты быть за известные.

§ 7

Определения вещей могут или сами собою одни рассуждаемы быть, или сравняемы с другими. Итак, если будет рассуждено то, что находится в определении, и из того будет заключено непосредственно что-нибудь, то сие называется основанием.

Или основание есть такая истина, которая непосредственно выводится из определения и не подлежит особливому доказательству для своей ясности. Например, сия истина может назваться основанием, когда я скажу, что целое есть равно всем своим частям, вместе взятым.

§ 8

Понеже основания непосредственно выводятся из определений, того ради оные не требуют доказательства. Ибо не можно прежде удостовериться о том, справедливо ли или нет такое основание, пока не будет исследована возможность определений. Впрочем, должно понимать то, что основания будут справедливы, когда определения суть истинные.

§ 9

Требования суть такие предложения, которые показывают возможность вещи и утверждают об оной, что она таким образом сделана быть не может.

Древние математики в силу сих предложений требовали от своих слушателей того, чтобы они в мысли своей изображенные виды, сравнивая с некоторым вещественным подобием, представляли своим глазам, и делали сие особливо для того, чтобы они несовершенства знаков или фигур, которые усмотрят в оных, не приписывали одним воображениям и тем ,бы самым не помрачали доказательств.

§ 10

С основаниями несколько сходствуют опыты, а опытом называется все то, что мы познаем своими чувствами. Например, когда я вижу, что ежели свеча будет засвечена, то все окружающие меня вещи становятся видимы, почему сие познание называется опытом.

§ 11

Когда несколько определений и оснований будут сравнены между собою и из того заключено будет нечто такое, чего узнать не можно было из рассматривания порознь оных определений и оснований, то сие называется теоремою. Из чего видно, что теорема есть такое предложение, которого истины без доказательства разуметь не можно.

§ 12

Чего ради при всякой теореме надлежит смотреть, во-первых, на самое предложение и, во-вторых, на доказательство. Ибо предложение объявляет, что такой вещи при известных обстоятельствах может присвоено быть или нет; а доказательство показывает, как разум наш приводится к тому, чтобы мы могли думать об оной вещи.

§ 13

Но понеже знание математических истин есть весьма полезное, того ради должно относить оные к самой практике. Почему такое предложение, которое учит нас сношению истины с самым делом, то есть, что сделать должно, называется задачею.

§ 14

Задачи обыкновенно состоят из трех частей, то есть из предложения, решения и доказательства. В предложении предписывается: что сделать должно, в решении показывается: что делать и каким порядком поступать надлежит, чтобы наконец вышло, что требуется, а доказательство показывает причины, для чего найдется искомое, ежели то, что в решении предписано, учинено будет. Из чего видно, что всякая задача может перемениться в теорему. По окончании решения задачи употребляются вообще сии слова: что сделать надлежало, или, сокращено, ч. с. н.

§ 15

Иногда случается, что, ради особливых причин, из одного предложения непосредственным последованием выводится другое, которое поэтому и называется прибавлением, то есть такая истина, которая не требует особливого доказательства, но из вышедоказанных должно известно быть об ней, что она справедлива.

§ 16

Наконец, примечания к определениям, теоремы и к задачам присовокупляемые, суть такие предложения, в которых обыкновенно изъясняется, что еще быть могло бы темно и непонятно; нередко показывается и польза предлагаемых наук, а иногда объявляется история изобретения и, сверх того, все то, что знать полезно.

§ 17

Что ж касается до доказательств, при окончании теорем и задач употребляемых, то оные особливо для того сообщаются, чтоб чрез сравнение нескольких между собою истин, или уже изъясненных, или для понятия нужных, уверить, что сия или другая теорема есть справедлива, а задача надлежащим образом решена. По окончании доказательства обыкновенно придаются сии слова: что надлежало доказать, или, сокращенно, ч. н. д. И сие особливо математики употребляют для того, чтоб предложения теоретические и практические некоторым образом между собою различны были...

Начальные основания алгебры (главы из книги)

(Печатается по изданию: Аничков Д. С. Начальные основания алгебры. М., 1781. Впервые опубликовано в Москве в 1781 г. В пособии, являющемся как бы продолжением пособия арифметики, изложены важнейшие алгебраические понятия. Состоит из 10 глав. Как и в первом учебном пособии, автор строго придерживается логики изложения материала. Материал дан в такой последовательности: название главы, параграфа, темы. Далее раскрывается содержание алгебраического понятия, формулируется определение, дается примечание. Заканчивается глава решением задач и примеров. В конце книги как приложение помещено 12 таблиц с геометрическими фигурами и показано, как их изготовить и использовать. )

Титульный лист книги Д. С. Аничкова 'Начальные основания алгебры...'

ГЛАВА I. О НАИМЕНОВАНИЯХ, УПОТРЕБЛЯЕМЫХ В АЛГЕБРЕ, И ПЕРВЫХ ОНОЙ НАЧАЛАХ

Определение I

§ 1. Алгебра, или всеобщая арифметика... есть наука из данных нескольких количеств, помощью сравнений, находить другие неизвестные количества того же роду, о которых, в рассуждениях данных, нечто знать дается. Или алгебра есть наука из данных или известных количеств, помощью сравнений, находить неизвестные.

Примечание I

§ 2. Алгебра всеобщею арифметикой называется потому, что чрез оную вычисляется все, что можно вычислить. Почему великий английский математик Исаак Ньютон (Ньютон, Исаак (1643 - 1727) - английский физик, механик, астроном и математик, основатель классической физики.) руководство свое к алгебре и назвал всеобщею арифметикою. Литеральною ж арифметикой именуется потому, что в оной вместо цифр употребляются всеобщие знаки, то есть азбучные буквы, и чрез оные делаются обыкновенные алгебраические выкладки, коих употребление первый ввел в алгебру Франциск Виета (Имеется в виду Виёт, Франсуа (1540 - 1603) - французский математик. Разработал почти весь материал элементарной алгебры. Ввел буквенные обозначения для известных величин в уравнениях.. )Специоза ж называется потому, что она предметом имеет роды или виды вещей; а алгеброю названа она от арабов.

Определение II

§ 3. Одно или многие количества, означенные буквами, почитаются алгебраическими количествами или величинами.

Положение I

§ 4. Данные, или известные, количества в алгебре всегда означаются первыми азбучными буквами, например я, с, а неизвестные, или искомые, количества - последними, например х, у.

Положение II

§ 5. Знак сложения +, а вычитания -; первый выговаривается чрез плюс, а другой чрез минус. Например, сумма двух количеств а и b пишется a + b, а выговаривается: а плюс b; напротив того, разность двух количеств пишется: a - b, а выговаривается: а минус b. Положим, что a = 7 руб., b = 8 коп., то а + b будет значить 7 руб. с 8 коп.; напротив того а - b будет значить 7 руб. без 8 коп.

Положение III

§ 6. Алгебраическое умножение или совсем не имеет никакого знака и умножаемые между собою буквы ставятся без всякого знака одна подле другой; или означаются занятою, или точкою, а вообще употребляется следующий знак X. Например, ежели должно умножить а на b, то произведение пишется: аb, или а, b, или а • b, или наконец, а X b; и во всех случаях выговаривается: а умножено на b.

Примечание

§7. Когда многие количества вместе умножаются на одно или одно количество на многие, то оные многие количества заключаются в вместительной, а умножающее количество ставится без всякого знака прежде или после вместительной. Например, произведение из а + b - с на d пишется или таким образом: (а + b - с) • d, или d (a + b - с). Вообще ж такое произведение изображается следующим образом: а + b - с X d, или d X a + b - с, или над составленным количеством проводится черта, например а +b - с X d.

Положение IV.

§ 8. Знак деления в алгебре употребляется двоеточие, или делимые количества изображаются дробью. Например, ежели а должно разделить на b, то частное число пишется или таким образом:

а: b, или -, и в обоих случаях выговаривается: а разделено на b.

Примечание

§ 9. Ежели многие количества вместе делятся на одно или одно на многие, то оные многие количества заключаются в вместительной, а делящее количество ставится с знаком деления прежде или после вместительной. Например, частное число из a + b на с пишется или таким образом (a+b):c, или с: (a +b). Вообще ж, частное число изображается следующим образом: .

Положение V

§ 10. Знак равенства в алгебре такой же, какой и в арифметике употребляется, то есть ( = ).

Определение III

§ 11. Количества простые, или одинаковые, суть те, которые с другим количеством чрез знак + не соединены или они от другого через знак - не отделены. Например, х или у. Напротив того, количества сложные, или составные, суть те, которые с другим количеством или чрез знак + соединены, или от другого чрез знак - отделены. Например, х + у или х - у.

Определение IV

§ 12. Количества, пред которыми находится знак + или которые не имеют пред собою никакого знака, или вначале поставляются без всякого знака, именуются положительными, или подтвердительными, или большими ничего; напротив того, те количества, пред которыми находится знак -, называются недостаточными, или отрицательными, или меньшими ничего, или непристойными, и первые из оных показывают самую вещь, а последние означают недостаточество вещи.

Прибавление

§ 13. Из чего явствует, что количества положительные и отрицательные, как имеющие между собою некоторое отношение, противополагаются друг другу таким образом, что одно из них, будучи приложено к другому, сие уничтожает. Такими количествами почитаются, например, барыш и наклад, приращение и убавление, продолжение и возвращение и пр.

Примечание

§ 14. Положим, что ты не имеешь ничего денег, однако подарено тебе 100 руб., то ты, получа 100 руб., будешь иметь больше ничего. Напротив того, положим, что ты, не имея ничего денег, должен заплатить 100 руб. Почему 100 руб. в долг возьмешь и, прежде нежели заплатишь, будешь иметь меньше ничего. Ибо должно тебе заплатить 100 руб., чтоб ничего не иметь; и потому 100 руб., составляющие долг, будут изображать количество отрицательное, или недостаточное.

Прибавление

§ 15. Почему, когда недостаточное прикладываешь к положительному, в самой вещи уничтожаешь, например - 3 + 3 = 0; когда ж недостаточное вычитаешь из положительного, тогда в самой вещи приладываешь, например - 3 - 3 = -6. Ибо недостаток без приложения уничтожен быть не может.

Прибавление

§ 16. И как один недостаток больше другого быть может, то сумму и разность недостаточных неравных количеств по справедливости должно принимать в рассуждение.

Определение V

§ 17. Число, приписанное к какому количеству, называется множителем того количества, то есть показывает оно, сколько то количество должно взято быть. Например, 8х значит, что количество х должно взять восемь раз...

Прибавление

§ 18. Почему о всяком количестве, пред которым хотя и не будет находиться явного множителя, должно понимать, что пред оным находится 1. Например, а то же значит, что и 1 a; також d, j то же значит, что и dj.

Определение VI

§ 19. Количества подобные называются все те, которые означаются одинаковыми буквами, хотя, впрочем, будут иметь разных множителей. Например, Заbс и 5abc суть количества подобные. Напротив того, количества неподобные суть те, которые означаются разными буквами. Например, 3abd и Заbс суть количества неподобные.

Положение VI

§ 20. Знак подобия такой же и здесь употребляется, какой в арифметике и геометрии употребляем был. Например, со.

ГЛАВА II. О ПЕРВЫХ ДЕЙСТВИЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЧИСЛЕНИЯ

Определение VII

§ 21. Приведение есть такое действие, чрез которое количества, не переменяя содержания оных, приводятся в простейший вид.

Примечание 1

§ 22. Сие действие утверждается на следующих двух правилах: 1) для удобнейшего сношения между собою количеств, означенных буквами, полезно в постановлении букв наблюдать порядок азбучный. Например, количество bа + с - d + cd + db - са лучше изображено быть может так: ab - abc + bd + с - d + dc; 2) многие подобные количества приводятся к одинаковому; а те, которые друг друга уничтожают, выбрасываются. Например, вместо ab + ab + cd лучше и короче можно изобразить: 2ab + cd, вместо аа + 2ас + Зас простее можно написать: аа + 5ас, вместо ab + bb + cd - bb лучше можно изобразить: ab + cd, ибо + bb и - bb взаимно друг друга уничтожают; наконец, вместо а - bb - 4b короче можно записать: а - 7 b.

Примечание 2

§ 23. Количество алгебраическое, сложное из многих других количеств, не переменяет своего знаменования, когда в буквах, означающих оное, не будет наблюдаем вышепомянутый порядок. Например, если вместо а + b - с напишешь: b - с + а, или - с + а + b, то из того никакой в знаменовании количеств перемены...