МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ в педагогике и психологии

Расстановка ударений: МАТЕМАТИ`ЧЕСКИЕ МЕ`ТОДЫ ИССЛЕ`ДОВАНИЯ в педагогике и психологии

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ в педагогике и психологии - методы количественного и структурного исследования и описания свойств и закономерностей пед. и психологич. явлений с помощью формальных моделей, количественных характеристик и функциональных отношений.

Степень и пределы соответствия пед. и психологич. явлений и их математич. моделей зависят от того, 1) какие свойства и связи пед. и психологич. явлений или процессов отображаются в модели, 2) как определяются количественные и структурные характеристики этих свойств или связей в ходе наблюдения соответствующих явлений и процессов, 3) каким образом обобщаются эти характеристики на всю область исследуемых явлений или процессов, 4) какая система формальных преобразований избирается для того, чтобы описать структуру связей между этими характеристиками, обнаруживаемую в практике обучения и воспитания, в психологич. наблюдении и эксперименте.

Первый вопрос представляет собой проблему определения объектов математич. исследования при изучении конкретных пед. и психологич. явлений и процессов; второй - измерения и символич. описания отдельных характеристик этих явлений и процессов; третий - обобщения и исследования этих характеристик; четвёртый - математич. моделирования структуры их связей.

Выбор объектов наблюдения в первую очередь определяется задачами и содержанием исследования. Почти во всех случаях, когда речь идёт о явлениях, связанных с психич. деятельностью и поведением, обучением или воспитанием, этим объектам оказываются присущи такие особенности, как исключительная сложность, большое индивидуальное разнообразие и сильная изменчивость, вызываемые влиянием непредвиденных случайных факторов, а также наличием непосредственно ненаблюдаемых факторов, связанных с внутренними психич. процессами и индивидуальными психич. свойствами личности уч-ся и учителя. Поэтому при определении объектов пед. и психологич. исследований возникает задача выделить из случайного многообразия конкретных индивидуальных фактов наиболее существенные и устойчивые их характеристики, поддающиеся объективному наблюдению и регистрации. Математич. средства для исследования и описания таких характеристик даёт теория вероятностей. Понятие вероятности позволяет отвлекаться от неизвестных причин, порождающих изменчивость изучаемых процессов, и рассматривать совокупность их возможных результатов как случайные события и величины, а сами такие процессы - как стохастические (случайные). Это даёт возможность, несмотря на случайную вариативность событий, величин и процессов, уверенно формулировать их существенные количественные характеристики и предсказывать результаты их взаимодействия почти с полной определённостью, т. е. формулировать их закономерности.

Из "предельных теорем" теории вероятностей следует, что главное условие этого - массовость соответствующих явлений. Таким образом, связи между характеристиками пед. или психологич. явлений, устанавливаемые на основе их математич. исследования, представляют собой вероятностные отношения, действующие во всей массе соответствующих явлений в целом. Приложение их к конкретной практике обучения и воспитания возможно поэтому только на основе содержательного психолого-пед. изучения соответствующих индивидуальных фактов и явлений.

Измерение заключается в приписывании по определённым правилам числовых значений величинам, характеризующим те или иные изучаемые явления. Реальное содержание этих величин устанавливается на основе содержательного психолого-пед. анализа соответствующих аспектов и процессов обучения и воспитания. Соответствие числовых характеристик этим реальным величинам составляет первое важнейшее условие состоятельности любого количественного исследования. Оно может быть достигнуто с помощью различных способов измерения. Главные из них: а) регистрация и подсчёт числа объектов с данным признаком (так измеряются, напр., успеваемость и посещаемость уч-ся), б) упорядочение объектов по сравнительной величине (рангу) определённого признака (так измеряются, напр., знания и квалификация), в) сопоставление величины исследуемого признака с определённым стандартным интервалом, принятым за единицу меры (так измеряется, напр., быстрота реакций человека), г) соотнесение величины исследуемого признака с интервалом возможных её значений (напр., измерение относительных порогов ощущений). Их применение позволяет построить соответственно номинальную, ординальную, интервальную или рациональную шкалу числовых характеристик изучаемых величин. Допустимость использования того или иного вида измерения определяется наличием объективного критерия, позволяющего выполнить все операции, связанные с этим видом измерения. Напр., регистрирующее измерение возможно, если имеется объективный критерий наличия или отсутствия изучаемого признака у наблюдаемых объектов. Т. н. ординальное шкалирование возможно, если имеется критерий для объективного сравнения величин измеряемых признаков; интервальное шкалирование - если имеется стандартный эталон величины измеряемого признака, принимаемый за единицу меры; рациональное шкалирование - если имеется абсолютная нулевая точка отсчёта величины измеряемого признака.

Проблема измерения в педагогике и психологии осложняется тем, что многие переменные, участвующие в пед. и психологич. процессах, непосредственно ненаблюдаемы и неизмеримы (напр., характеристики психич. процессов и свойств, степень трудности уч. материала, эффективность воспитательного приёма и т. п.). В этих случаях приходится применять методы косвенного измерения, т. е. непосредственно наблюдать и измерять не сами изучаемые величины, а другие - наблюдаемые величины (индиканты), известным образом связанные с изучаемыми ненаблюдаемыми переменными. Так, напр., степень усвоения навыка можно измерять через время решения задачи и число допущенных ошибок, продуктивность памяти - числом воспроизведённых единиц заученного материала и т. д. Необходимым условием состоятельности измерения является при этом наличие достаточно точно установленной связи между индикантом и характеризуемой через него ненаблюдаемой величиной.

Несмотря на ряд практич. достижений, полученных с помощью указанных методик, главная задача - определение истинной формы и характера связи, существующей между наблюдаемыми проявлениями и измеряемыми психологич. или пед. величинами, - ещё удовлетворительно не решена. Поэтому при косвенных измерениях всегда приходится пользоваться нек-рыми вспомогательными гипотезами о характере указанных связей, а это требует большой осторожности при истолковании результатов проведённых таким методом измерений. Примером ошибочных обобщений, к-рые возникают при игнорировании этого требования, служат многие тестовые методики измерения интеллекта и способностей (см. Тест).

Л. Б. Ительсон. Баку.

Разработка методов математич. исследования количественных характеристик случайных событий, величин и процессов на основе данных их наблюдения и измерения составляет предмет и содержание математич. статистики. Практически такое исследование складывается из след. этапов.

1) Получение случайной выборки. Конкретное исследование всегда проводится на ограниченном круге изучаемых явлений, к-рые и называют выборкой. Чтобы узнать, напр., насколько способствует данный методич. приём лучшему усвоению, проводят наблюдения или эксперименты в ограниченном числе школ и классов с ограниченным числом школьников. Но полученные выводы чаще всего желательно распространить на более широкую совокупность. Для этого нужно заранее позаботиться, чтобы выборка (в этом примере - группа школьников) не оказалась в силу разных причин подобранной по тому или др. признаку: по качеству преподавания, по предшествующей успеваемости, по местоположению школ и пр. Поэтому весьма важно, чтобы выборка была случайной; это имеет особенно большое значение при проведении обследований с применением анкет, вопросников и т. д. Если получить случайную выборку нельзя, то следует описать существенные признаки исследуемой выборки.

2) Конструирование величин, представляющих выборку. Исследователь стремится наиболее полно с помощью наименьшего количества величин охарактеризовать всю выборку. "Представителями" выборки, отражающими её специфику, служат: а) наиболее часто встречающаяся величина - мода; б) центральная величина по занимаемому месту в ряду измерений - медиана; в) средняя арифметическая. Последняя наиболее удобна, т. к. необходима и для др. существенных статистич. характеристик выборки. Все 3 указанные величины недостаточно характеризуют выборку, а именно: они не показывают, как далеки друг от друга отдельные измерения. За меру рассеяния выборки обычно принимают среднее квадратич. отклонение. Располагая данными о числе элементов выборки, средней арифметической и квадратич. отклонении, можно путём несложных вычислений узнать, с какой вероятностью и в каких пределах можно ожидать изменения средней арифметической при повторных изучениях таких же выборок. Также можно с определённой вероятностью установить математич. отношение средней арифметической, полученной по данной выборке, к неизвестной нам средней арифметической всей совокупности явлений (генеральной или общей совокупности), откуда взята выборка.

3) Сравнение 2 выборок. Одна из часто встающих в исследовании задач состоит в том, чтобы доказать наличие или отсутствие существенной разницы между 2 выборками, напр. между экспериментальной и контрольной группой. Статистика предлагает для этой цели хорошо разработанные критерии. Широко применяется т. н. критерий t, не требующий сложных математич. вычислений и, что очень важно, пригодный для малых выборок (малыми наз. выборки, состоящие менее чем из 30 измерений). При помощи t устанавливается уровень статистич. значимости разницы между 2 выборками, каждая из к-рых представлена своим средним арифметическим. Этот уровень можно, напр., принять в 99% и, если он действительно получен, можно ожидать, что при повторении таких же сравнений в 99 случаях из 100 между выборками обнаружится существенное различие. Уровень ниже 95% в большинстве случаев признаётся несущественным. Имеются и др. удобные критерии, доказательно обосновывающие результат сравнения выборок.

4) Дальнейшим развитием техники критерия t является метод дисперсионного анализа, позволяющий организовать комплексный многофакторный эксперимент и оценить статистич. значимость влияния исследуемых факторов и их комбинаций на изучаемый показатель. Осн. идея метода заключается в сравнении дисперсий, т. е. квадратов ср. квадратич. отклонений, соответствующих влиянию различных факторов. Эти факторы могут быть заранее определёнными, запланированными для выяснения степени их влияния, и, наряду с этим, случайными, создающими случайную дисперсию, не поддающуюся контролю экспериментатора. Теория дисперсионного анализа показывает, что общая дисперсия результативного признака есть сумма указанных частных дисперсий. Это свойство дисперсий и даёт возможность оценить существенность влияния данного фактора на результативный признак путём сравнения дисперсии этого фактора с дисперсией случайного варьирования. Применение дисперсионного анализа при умелом планировании эксперимента позволяет получить значительные количества информации при большой экономии экспериментального времени.

5) Определение тесноты связи между признаками. Часто цель исследования состоит в том, чтобы доказать существование связи между 2 или более признаками, к-рые наблюдаются у всех членов выборки. Напр., в исследовании доказывается, что школьники, обучавшиеся определёнными методами в нач. классах, в старших легче овладевают знаниями. Чтобы установить, насколько эта группа школьников успевает и в старших классах, пользуются вычислениями корреляций. Коэффициент корреляции даёт количественную характеристику связи (он принимает значения от - 1 до +1). Статистика позволяет вычислять корреляции не только между признаками, имеющими количественное выражение, но и между качественными признаками, а также между количественными и качественными. Если цель исследования состоит лишь в том, чтобы показать наличие связи между несколькими признаками, не выражая эту связь количественно, то используется метод хи-квадрат. По этому методу судят о существовании или отсутствии связи. Как в этом случае, так и при вычислении корреляций можно установить вероятность того, что связь будет получена и при повторных наблюдениях.

6) В том случае, когда от выборки получены данные по нескольким признакам, появляется возможность вычислить коэффициенты корреляции каждого показателя с каждым другим показателем, а полученную матрицу интеркорреляций подвергнуть факторному анализу. Целью этого математик, метода обработки экспериментальных данных является установление степени влияния тех факторов, к-рые лежат в основе корреляций между измерениями. Факторный анализ представляет собой последовательность вычислительных операций, в к-рых используются элементы матричной алгебры и результатом к-рых является матрица т. н. факторных весов, т. е. по существу коэффициентов корреляции взятых показателей с выделенными факторами. Извлечённые факторы интерпретируются согласно психологич. или физиологич. смыслу показателей, имеющих по этим факторам наиболее высокие веса. Процедура извлечения факторов в случае большого набора переменных достаточно сложна и трудоёмка, поэтому в этих случаях для обработки данных методом факторного анализа целесообразно применять электронно-вычислительную технику.

К. М. Гуревич, В. Д. Небылицын. Москва.

Математик, моделирование пед. процессов заключается в конструировании по определённым правилам нек-рой формальной системы, к-рая отображает через совокупность математич. операций над величинами определённую гипотезу о структуре или закономерностях изучаемых явлений обучения или воспитания. Будучи формальной конструкцией, такая модель позволяет выделять "в чистом виде" логич. структуру науч. теории и количественные отношения между существенными переменными изучаемых ею явлений. Это позволяет проверять логич. состоятельность, соответствующей пед. или психологич. теории, исследовать её структуру и высказывать на её основе количественно определённые утверждения относительно возможных связей между фактами. Последнее же создаёт возможность для экспериментальной проверки теории и её практич. применения.

Характер математич. модели зависит при этом от то- то: а) какие связи, наблюдаемые в процессах обучения, постулируются как исходные, б) какие условия формирования этих связей выделяются и в) какое исчисление используется для формального описания этого процесса. С точки зрения первого критерия, почти все математич. модели обучения, разработанные до настоящего времени, можно подразделить на 2 группы: феноменологич. модели и гипотетико-дедуктивные модели. В феноменология, моделях в качестве исходной постулируется нек-рая форма связи стимулов (внешних воздействий) и реакций (ответов) на них обучаемого. К моделям такого рода относятся модели обучения Л. Тёрстона, А. Ляпунова, Р. Буша и Ф. Мостеллера, Д. Уолфла и др. При гипотетико-дедуктивном моделировании в качестве исходного постулируется нек-рый психич. механизм, порождающий явления обучаемости (К. Халл, У. Истиз, Н. Рашевский, Мак-Каллок и Питс и др.).

С точки зрения второго критерия, различаются условно-рефлекторные модели - в них условием образования связи является подкрепление правильных реакций и торможение ошибочных действий (Тёрстон, Халл, Ляпунов, Ф. Розенблатт и др.) - и ассоциативные модели - в них условием образования связи является простое совпадение определённого стимула и реакции во времени (Истиз, П. Супс и др.).

Наконец, с точки зрения используемого математич. аппарата математич. модели обучения можно подразделить на дифференциальные (Тёрстон, Г. Гулликсен, Уолфл, Г. Саймон и др.), стохастические марковские (Дж. Миллер, Ф. Фрик, Истиз и др.), теоретико-множественные (Истиз), алгоритмические (Ляпунов, Ю. Шрейдер), топологические (К. Левин).

В настоящее время построен ряд математич. моделей различных видов обучения, получивших экспериментальное подтверждение. Однако следует отметить, что с помощью математич. моделей пока удаётся удовлетворительно описать только отдельные весьма простые случаи и формы обучения. Осн. причина этого заключается, по-видимому, в ограниченности феноменологич. подхода описанием лишь наблюдаемых при обучении связей входа и выхода, а гипотетико-дедуктивного подхода - априорным постулированием фактически неизвестных психологич. механизмов обучаемости. Определённые перспективы для преодоления этих ограничений открывает использование кибернетич. понятий и методов. Оно опирается на аналогию, существующую между многими психолого-пед. явлениями и процессами управления и передачи информации, изучаемыми кибернетикой. Это позволяет значительно расширить возможности математич. моделирования пед. и психологич. явлений и процессов путём использования для этой цели ряда методов и понятий теории информации, теории автоматич. управления и регулирования, теории программирования, а также средств кибернетич. моделирования и электронно-вычислительной техники (см. Кибернетика).

Следует подчеркнуть, что М. м. и. выделяют лишь нек-рые количественные и структурные стороны пед. и психологич. явлений и процессов, действующие во всей их массе, и, таким образом, неизбежно схематизируют и упрощают эти явления и процессы. Поэтому их применение, а также интерпретация полученных с их помощью результатов могут быть состоятельны только в том случае, когда эти методы неразрывно сочетаются с качественным, содержательным пед. и психологич. изучением соответствующих видов обучения и воспитания. Это изучение, проводимое на основе марксистской диалектико-материалистич. методологии, должно учитывать их социальную, психологич. и биологич. специфику и природу.

Л. Б. Ительсон. Баку

Лит.: Ляпунов А. А. и Шестопал Г. А., Об алгоритмическом описании процессов управления, в сб.: Математическое просвещение, М., 1957, в. 2; Стивенс С. С., Математика, измерение и психофизика, в сб.: Экспериментальная психология, пер. с англ., т 1, М., 1960; Хилгард Э. Р., Методы и приемы анализа процесса научения, там же, т. 2, М., 1963; Плохинский Н. А., Биометрия, Новосибирск, 1961; Буш Р., Мостеллер Ф., Стохастические модели обучаемости, пер. с англ., М., 1962; Джордж Ф., Мозг как вычислительная машина, пер. с англ., М., 1963; Ительсон Л. Б., Математические и кибернетические методы в педагогике, М., 1964; Романовский В. И., Элементарный курс математич. статистики, М., 1938; Фишер Р. А., Статистич. методы для исследователей, пер. с англ., М., 1958; Каминский Л. С., Обработка клинических и лабораторных данных, Л., 1959; Юл Дж. Э. и Кендэл М. Дж., Теория статистики, 14 изд., пер с англ., М., 1960; Митропольский А. К., Техника статистич. вычислений, М., 1961; Урбах В. Ю., Математич. статистика для биологов и медиков, М., 1963; Guilford J. Р., Fundamental statistics in psychology and education, 3 ed., N. Y., 1956; Harman H. H., Modern factor analysis, Chi., 1960.

Источники:

1. Педагогическая энциклопедия/Глав. ред. И. А. Каиров и Ф. Н. Петров. т. 2. - М.: Советская энциклопедия, 1965. - 912 с. с илл., 5 л. илл.