МАТЕМАТИКА в школе

Расстановка ударений: МАТЕМА`ТИКА в школе

МАТЕМАТИКА в школе - уч. предмет, изучение к-рого имеет целью дать уч-ся прочные, сознательно усвоенные знания основ математич. науки и выработать у них необходимые умения и навыки. Изучение М. готовит уч-ся к творч. участию в предстоящей трудовой деятельности в условиях совр. производства, даёт им необходимое общее развитие, воспитывает культуру мысли, создаёт возможности для глубокого овладения смежными уч. предметами, готовит к дальнейшему продолжению своего образования. Важной задачей, к-рая решается в процессе преподавания М., является формирование у уч-ся науч. мировоззрения и воспитание их в духе требований морального кодекса строителей коммунистич. общества. В содержание школьного предмета М. входят осн. сведения из арифметики, алгебры, геометрии, начал математич. анализа.

Историч. справка. Первые сведения о знакомстве в школах с элементарными вопросами М. встречаются в источниках по истории стран Др. Востока (см. Древний Восток). Большое влияние на развитие школьного математич. образования, в особенности в странах Европы, оказала математич. культура Др. Греции, где в связи с развитием торговли, мореплавания, ремесёл М. (первоначально в форме ознакомления с выполнением простейших вычислений) стала проникать в нач. школы уже в 5 в. до н. э.; в школах изучались арифметика и геометрия. В научной школе Пифагора (ок. 580 - 500 до н. э.) впервые использовались систематич. доказательства. В Академии Платона впервые были введены понятия анализа и синтеза, применялся метод наведения и доказательства от противного. Эвклидовы "Начала" (3 в. до н. э.), состоящие из 13 книг, своим содержанием и исключительным вниманием к логич. обоснованию выводов завоевали всеобщее признание и оказали огромное влияние на преподавание М. в школе. В ср. века М. стала вытесняться из школьного образования. Однако в то время, когда в Европе М. переживала период упадка, математич. наука и изучение М. в школах успешно развивались в странах Востока. Значительный вклад в развитие школьного математич. образования внесли народы, ныне входящие в состав Сов. Союза. О высоком уровне развития математич. культуры и распространении математич. знаний в Армении в 7 в. говорит дошедшее до нас сочинение арм. математика Анания Ширакаци, учебник арифметики к-рого содержит обширный материал по иск-ву счисления с использованием таблиц по арифметике и геометрич. прогрессии. В 9 - 12 вв. высокого развития достигла математич. культура в школах Грузии и на территории совр. Узбекистана. В 9 в. выдающийся математик и астроном Мухаммед бен Муса аль-Хорезми написал первый систематич. курс алгебры.

В 12 в. в Европе с возникновением городских школ и первых ун-тов элементы арифметики (в основном коммерческого вычисления) проникли в школу, но алгебра отсутствовала в преподавании. Вплоть до 14 - 15 вв. курс геометрии по книгам Эвклида изучался только в нек-рых ун-тах и колледжах. В университетское образование входило также изучение арифметики в объёме, близком к курсу арифметики совр. нач. школы.

В эпоху Возрождения в школьное обучение, кроме элементарных вычислений, включаются арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия. Целью изучения М. считалось как достижение общего развития, так и использование математич. знаний в астрономии, нек-рых практич. отраслях (торговле, мореплавании и др.) и в военном деле.

Существенно новый период развития М. начинается в 17 в. Важнейшим достижением этого времени явилось создание математич. анализа (И. Ньютон, Г. Лейбниц). Возникают аналитич. геометрия (Р. Декарт, П. Ферма), теория вероятностей (Б. Паскаль, Ферма), развивается вычислительная М. (открытие логарифмов, появление первых счётных машин и т. д.). В 1665 (в книге, изданной посмертно) Паскаль впервые дал формулировку принципа математической индукции. В связи с развитием науки и производства возрастает потребность в расширении светского школьного образования с обязательным изучением М. В целях борьбы с влиянием светских школ духовенство было вынуждено ввести изучение М. и в школах, организуемых церковью.

В 17 - 18 вв. нач. образование с включением в школьную программу сведений по М. получает достаточно широкое распространение. Усиливается борьба за повышение роли М. в ср. школьном образовании.

Развитие методов обучения в этот период проходило как под влиянием идей философов-материалистов (Т. Гоббс, Дж. Локк, Д. Дидро, Ж. Ламетри, П. А. Гольбах) и пед. идей Я. А. Коменского, И. Г. Песталоцци, Ж. Ж. Руссо, так и под воздействием идеалистич. взглядов Р. Декарта, Г. В. Лейбница, И. Канта. В результате этих противоречивых воздействий и укоренившихся ранее традиций в школьном обучении, с одной стороны, преувеличивалась роль личного опыта в получении всех математич. знаний, с другой стороны, проявлялось стремление вести преподавание с самого начала чисто дедуктивными методами. Резкий подъём школьного математич. образования происходит в период франц. бурж. революции конца 18 в. На содержание и построение курса М. ср. школы большое влияние оказали созданные к этому времени уч. руководства по арифметике, геометрии, алгебре (С. Лакруа, А. Клеро, А. Лежандр, Э. Везу, Л. Эйлер). В конце 18 и нач. 19 вв. в программы по М. для гимназий стали включаться темы по математич. анализу, аналитич. геометрии, сферич. тригонометрии, основам механики. Позднее возникают новые типы ср. уч. заведений: реальные уч-ща и реальные гимназии, в уч. планы к-рых вводится повышенный курс М. В течение 19 в. в Зап. Европе уже полностью сложилась система ср. математич. образования.

В средневековой Руси математич. образование находилось на достаточно высоком для того времени уровне. Уже в 9 - 10 вв. в Киевской Руси приобретение элементарных математич. знаний было доступно лицам разных сословий. Иноземные нашествия привели к длительному упадку культуры на Руси. Прогресс в развитии математич. образования в России наступил лишь к концу 17 в. В 1701 в Москве была открыта Школа математических и навигацких наук, в программу к-рой были включены арифметика, алгебра, геометрия, плоская и сферич. тригонометрия. Начались работы по созданию уч. руководств по М. В 1703 была издана "Арифметика" Л. Ф. Магницкого, ставшая на многие годы осн. учебником по М. в рус. школах.

Развитие в стране пром-сти, торговли, мореплавания, военного дела требовали всё более широкого изучения и распространения математич. знаний. В 1716 были созданы "для науки молодых ребяток из нисших чинов людей" т. н. цифирные школы, главным предметом обучения в к-рых были арифметика и геометрия. В 1737 были организованы гарнизонные школы, в к-рых, кроме военных дисциплин и грамоты, изучалась арифметика. Гарнизонные школы сыграли заметную роль в распространении математич. знаний, т. к. многие выпускники этих школ становились впоследствии учителями. В 1739 переводятся на рус. яз. "Начала" Эвклида. В 1740 выходит на рус. яз. "Универсальная арифметика" Л. Эйлера. Издаются уч. пособия как отечественных авторов, так и переводные. Развитию М. в России и распространению математич. знаний способствовали организация в Петербурге Академии наук (1724), в к-рой работали выдающиеся математики Эйлер, Н. и Д. Бернулли, X. Гольдбах и др., ун-та при Академии, Моек, ун-та (1755) и гимназий при ун-тах. Программа по М. для созданных по Уставу 1804 начальных, городских и средних школ составлялась при непосредственном участии математика Н. Фусса (1755 - 1826), ученика и друга Эйлера, и астронома С. Я. Румовского (1734 - 1812). На изучение чистой и прикладной М. (вместе с опытной физикой) отводилось по 6 ч. в неделю в 1 - 3-х классах. Кроме того, в 3 - 4-х классах изучалась статистика. В программу старших классов гимназии были включены начала дифференциального и интегрального исчисления. Эти прогрессивные начинания очень скоро были подвергнуты различным ограничениям, а затем и отмене. Рост революционных настроений в Европе в 1-й четв. 19 в. нек-рые гос. деятели были склонны объяснять влиянием на умы молодёжи классич. образования. Поэтому в гимназиях было резко сокращено изучение греч. и лат. языков, классич. лит-ры и истории и увеличено количество часов на предметы естественно-математич. цикла.

С 1849 число часов на изучение М. увеличивается с 20 до 30 в неделю (по 4 классам). В гимназиях вводится обучение по 2 отделениям: классическому и реальному ("бифуркация"). При этом предполагалось, что усиленные занятия М. оградят умы уч-ся от опасных для самодержавия революционных влияний. Однако широкое изучение в школе М. и естествознания создавало благоприятные возможности для глубокого знакомства молодёжи с новыми науч. достижениями и способствовало распространению материалистич. и революционных настроений среди уч-ся. Поэтому в гимназиях вновь стал насаждаться классицизм, была отменена бифуркация, сокращена программа по М. Программы по М. реальных уч-щ были приспособлены к чисто практич. потребностям.

Программы по М., введённые в школах в 1872 и вновь сокращённые в 1892, сохранились без сколько-нибудь существенных изменений вплоть до Вел. Окт. социалистич. революции. Несмотря на это, уровень преподавания М. в школах России к концу 19 в. был не ниже, чем в школах западноевропейских стран.

Большой вклад в преподавание М. в школе внесли многие прогрессивные деятели математич. образования. В России получили широкую известность идеи основоположника методики арифметики Г. Песталоцци. В течение 19 в. были опубликованы многие оригинальные методич. руководства и уч. пособия по арифметике. В 1830 была издана первая методич. книга по М. "Руководство к арифметике" Ф. И. Буссе, в 1839 под назв. "Руководство к преподаванию арифметики" издан фундаментальный труд П. С. Гурьева, Начиная со 2-й пол. 19 в. значительное влияние на постановку обучения арифметике оказали науч.-методич. труды, учебники и практич. деятельность В. А. Евтушевского, А. М. Гольденберга, К. Д. Ушинского, Л. Н. Толстого, Ф. И. Егорова, В. К. Беллюстина, В. А. Латышева, К. П. Арженикова, А. П. Киселёва. Разработанный известным педагогом-математиком С. И. Шохор-Троцким метод целесообразных задач широко используется в школе до настоящего времени.

Успешно разрабатывались вопросы преподавания геометрии. Уже в 1-й пол. 19 в. появились оригинальные методич. руководства, учебники и уч. пособия по этому предмету: "Курс математики" Т. Осиповского (1801 - 02), "О началах геометрии" Н. И. Лобачевского (1829 - 30). К 20 в. относятся уч. руководства по методике нач. курса геометрии Шохор-Троцкого, Латышева, А. М. Астряба и др. Первым большим трудом по методике систематич. курса геометрии была книга А. Н. Острогорского "Материалы по методике геометрии" (1884). Широкое распространение получили: "Элементарная геометрия в объёме гимназического курса" А. Ю. Давыдова (1864), "Элементы геометрии" Д. Гика и М. Муромцева (1879), "Методы решения геометрических задач на построение и сборник геометрических теорем и задач..." И. И. Александрова (1883), "Сборник геометрических задач на построение и краткий курс элементарной геометрии" А. А. Глаголева (1890), "Элементарная геометрия" Киселёва (1892). Новые методич. идеи были выдвинуты в вышедших позднее руководствах Н. Извольского, П. Долгушина, Б. Марковича.

Формирование курса алгебры в рус. школе в 19 в. встречалось со значительными трудностями. Осн. целью изучения школьного курса алгебры считалось рассмотрение различных способов преобразования одного алгебраич. выражения в другое, ему тождественное. Знаменательным событием было появление в 1834 книги "Алгебра или вычисление конечных" Лобачевского. Свои прогрессивные методич. взгляды автор изложил в предисловии: "В постепенном развитии понятий и в уменье не допускать, чтобы одно изучение на память общих правил и механические исчисления заменяли суждение, заключается искусство преподавателя и успех его". А. Н. Страннолюбский в "Курсе алгебры" (1868) впервые выдвинул идею применения конкретно-индуктивного метода при изучении алгебры, последовательно развитого позднее в трудах К. Ф. Лебединцева. Из многочисленной уч. лит-ры по алгебре, появившейся в основном во 2-й пол. 19 в., большой известностью пользовались "Начальная алгебра" А. Ю. Давыдова (1866), "Руководство алгебры и собрание алгебраических задач для гимназии" А. Ф. Малинина и К. П. Буренина (1870), "Методика приготовительного курса алгебры" Евтушевского и А. Глазырина (1876), "Алгебра" Ж. Бертрана (пер. с франц., 1885), "Элементарная алгебра" А. Киселёва (1888), книга В. Ермакова "О преподавании алгебры" (1892). Ряд созданных позднее пособий и методич. руководств Лебединцева, Д. А. Бема, А. А, Волкова, Р. Э. Струве, С. П. Виноградова и нек-рых др. авторов в основном использовались в школьном преподавании после Окт. революции 1917.

Осн. задачей курса тригонометрии в школе в 19 в. считалось решение треугольников. Функциональное содержание курса лишь в небольшой мере нашло своё выражение в уч. пособиях, изданных в нач. 20 в. В 19 в. осн. пособиями по курсу тригонометрии были: "Начальные основания плоской тригонометрии" Н. Фусса (1804), "Тригонометрия" Ф. И. Симашко (1852), "Тригонометрия" А. Серре (пер. с франц., 1870), "Руководство прямолинейной тригонометрии" А. Ф. Малинина(1864), "Прямолинейная тригонометрия" Н. Рыбкина (1894), "Прямолинейная тригонометрия" Е. М. Пржевальского (1873). Нек-рые из этих пособий и позднее изданные пособия Н. Билибина, С. Глазенапа, В. Крогиуса использовались в сов. школе.

Движение за реформу преподавания математики. В конце 19 и нач. 20 вв. во многих странах мира началось широкое движение за реформу преподавания М., связанное с крупными успехами математич. науки в области обоснования анализа, теории функций, оснований геометрии, развитием общей теории множеств, а также потребностью в широком реальном образовании молодёжи. Наибольшую известность в движении за реформу математич. образования приобрела т. н. Меранская программа (1905), разработанная под руководством нем. математика Ф. Клейна. Осн. требования сторонников реформы заключались в том, чтобы естественно-математич. образование стало равноправным с образованием классическим, чтобы теоретич. и практич. стороны в обучении М. выступали в тесном единстве, чтобы методы преподавания и содержание обучения были освобождены от рутины и в преподавании нашли отражение осн. идеи М.; кроме того, обучение М., особенно на первых этапах, должно быть наглядным и вся система преподавания М. должна быть психологически оправдана. Сторонники реформы добивались того, чтобы весь школьный курс М. был пронизан идеей функциональной зависимости в её геометрич. освещении. В организационном отношении требование сторонников реформы заключалось в том, чтобы во всех классах гимназии на изучение М. отводилось по 4 ч. в неделю. Движение за реформу преподавания М. привело во многих странах к известному расширению реального образования. В программы по М. последних классов реальных гимназий и уч-щ были включены элементы дифференциального и интегрального исчисления, аналитич. геометрии. Сравнительно больших успехов это движение добилось во Франции. Всеобщее недовольство отсталостью школьных программ, недооценкой роли математич. образования и застывшими методами преподавания вызвало активное общественное движение и в России. Вопросы реформы преподавания М. оживлённо обсуждались в печати, на совещаниях и съездах. За реформу преподавания М. выступали известные педагоги-математики В. П. Ермаков, М. Г. Попруженко, С. О. Шатуновский, В. Ф. Каган, А. К. Власов, Д. А. Граве, Д. М. Синцов, А. Н. Крылов и др. Издаются новые учебники по алгебре, геометрии, тригонометрии, началам математич. анализа, создаются и обсуждаются проекты новых школьных программ. В 1911 - 12 и 1913 - 14 были проведены 1-й и 2-й Всероссийские съезды преподавателей математики. Царское пр-во не приняло мер по совершенствованию школьного математич. образования. Были лишь несколько ослаблены ограничения для выпускников реальных уч-щ при их поступлении в ун-ты. Не получали поддержки и прогрессивные методы преподавания. Основным в уч. работе было устное изложение материала урока учителем, опрос уч-ся, выполнение уч-ся контрольных работ и выучивание домашних заданий. Успешное овладение предметом даже средним учеником требовало дополнительных занятий.

В действовавших до 1917 программах по М. для гимназий даже не упоминается об изучении функции и функциональной зависимости и т. д. Программы по М. для реальных уч-щ по всем классам, кроме последнего, во многом совпадали с программой для гимназий. Но в программу последнего класса входили комплексные числа и нек-рые др. дополнения к курсу алгебры, тригонометрич. функций, основания аналитич. геометрии, основы анализа бесконечно-малых (пределы, производная и дифференциал, понятие об определённом интеграле и его применение для вычисления площадей, понятие о неопределённом интеграле).

Развитие математич. образования в сов. школе. С организацией в первые годы Сов. власти единой трудовой 9-летней школы и рабочих факультетов были созданы условия, обеспечивающие возможность всем трудящимся получить ср. математич. образование. В школе стал широко использоваться лучший методич. опыт прошлого, началась работа по обновлению и совершенствованию программ по М. и методов обучения. Первые проекты новых программ по М. относятся к 1918/19 уч. г. В 1921 были утверждены примерные программы для 1-й и 2-й ступени 7-летней школы. Программы и рекомендуемые в них методы уч. работы внесли в школу много нового: в них было выражено стремление всемерно развить творческую активность детей, дать уч-ся глубокие знания основ наук, связать преподавание М. с жизнью. Вместе с тем программы были крайне перегружены. Систематич. курс арифметики заканчивался в 3-м классе и завершался темой "Вычисления по приближению". Программа по геометрии состояла из 4 концентров. Планиметрия излагалась параллельно с элементами стереометрии, причём стереометрия изучалась на наглядноэкспериментальной основе. В 5-м классе при изучении площадей геометрич. фигур уч-ся давались первые сведения о принципе Кавальери. В 7-м классе принцип Кавальери использовался для нахождения объёмов пространственных фигур. Программа по тригонометрии, значительно расширенная по сравнению с программой старых гимназий, предусматривала изучение всего курса в 7-м классе. В курс алгебры 7-летней школы были включены почти в полном объёме вопросы, входившие в программу гимназии. Кроме того, предусматривалось изучение функциональной зависимости и построение графиков. В проектах программы 8 - 9-х классов, кроме нек-рых вопросов элементарной М., были элементы аналитич. геометрии и математич. анализа. В программу по анализу включалось изучение производной и дифференциала, знакомство с интегралом, ряды, простейшие дифференциальные уравнения. Включение в программы новых вопросов, сближение программ по М. со смежными предметами, связь преподавания М. с практикой, всемерное развитие активных методов преподавания способствовали лучшей постановке математич. образования в школе. Однако в это время возникали и нек-рые неправильные тенденции, к-рые привели к недооценке роли теории предмета, к упрощённой и неверной трактовке положений о связи теории с практикой. К тому же перегруженность новых программ заставила школы составлять свои "программы- минимум".

Принятые затем в 1924/25 уч. г. т. н. комплексные программы Государственного учёного совета в основном затронули 1-ю ступень школы. Но увлечение методом проектов, комплексностью, бригадно-лабораторным методом и т. д., а также отсутствие чётких программных требований отрицательно сказывалось на уровне преподавания М. и в старших классах ср. школы. Преподавание М. на рабфаках было свободно от подобных увлечений.

Широкая сеть школ и массовый характер школьного математич. образования потребовали массовых изданий учебников и пособий по М. Переиздавались лучшие из старых руководств, печатались новые. Получили распространение и т. н. рабочие книги по М., к-рые часто содержали полезные упражнения, но отсутствие системы в изложении предмета затрудняло их использование в практике преподавания.

В соответствии с постановлением ЦК ВКП(б) от 5 сент. 1931 "О начальной и средней школе" были составлены новые программы по М. для 10-летней школы, в к-рых давался точно очерченный круг систематич. знаний по предмету. Новая программа по М. 10-го класса предусматривала изучение основ аналитич. геометрии и основ анализа бесконечно-малых. Но программа в целом вновь оказалась перегруженной, и в ней не было должной связи со смежными дисциплинами. Потребовалась новая переработка программ. Число часов на изучение М. было увеличено до 6 в неделю в каждом классе. Из программы 10-х классов были исключены элементы аналитич. геометрии и математич. анализа. Отд. темы этих разделов были включены в программу курса алгебры (теория пределов, метод координат, понятие о функции, свойства элементарных функций, построение графиков). Эти программы, утверждённые Наркомпросом в 1934, без существенных изменений действовали в школах до 1960. За этот период школьное математич. образование достигло значительных успехов. Обучение М. приняло в стране массовый характер. Впервые на практике была доказана возможность обучения М. всех уч-ся не только начальной, но и ср. школы по программе, открывающей равные для всех выпускников школы возможности для дальнейшего продолжения образования. Была проведена большая работа по целесообразному отбору и обновлению уч. материала, усовершенствованию и развитию методов преподавания.

В основу методики преподавания М. были положены разработанные сов. дидактикой принципы сознательности, наглядности, доступности, прочности, научности обучения, единства теории с практикой. В уч. работе широко использовался генетич. метод изложения, эвристич. и вопросно-ответный методы, метод целесообразных задач; совершенствовались методы самостоятельной работы уч-ся. Были отобраны или вновь изданы учебники и уч. пособия по М., отвечающие образовательным и воспитательным задачам сов. школы. Первоначально в ср. школе использовались переработанные учебники Киселёва (арифметика, алгебра, геометрия) и Рыбкина по тригонометрии. В 1954 по арифметике был введён учебник Н. Шевченко, по алгебре для 6 - 8-х классов - А. Барсукова, но геометрии для 6 - 8-х классов - Н. Никитина и по тригонометрии - С. И. Новосёлова. В нач. школе был введён учебник по арифметике А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка. Были изданы новые задачники для уч-ся и новая методич. лит-pa для учителей (по методике арифметики - пособия Шохор-Троцкого, Е. С. Березанской, В. Г. Чичигина, Я. Ф. Чекмарёва и др., по методике алгебры - пособия Лебединцева, С. С. Бронштейна, И. И. Чистякова и др., по методике геометрии - пособия Извольского, Н. М. Бескина и др., по методике тригонометрии - Бескина, Новосёлова и др.). Широкое распространение получили пособия по методике В. М. Брадиса и коллектива авторов под общей редакцией С. Е. Ляпина. Большим событием в развитии школьного курса алгебры был выход в свет в 1939 учебника "Алгебры" (ч. 1) академиков П. А. Александрова и А. Н. Колмогорова. Новые идеи в преподавании школьной М. были выдвинуты в "Арифметике" И. К. Андронова, курсе алгебры Д. К. Фадеева и И. С. Соминского, в "Начальной алгебре" В. Л. Гончарова, в курсе алгебры коллектива авторов под ред. А. И. Маркушевича, в курсах геометрии Д. И. Перепёлкина, А. Й. Фетисова, в курсах тригонометрии Б. Б. Пиотровского, А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника, И. К. Андронова и А. К. Окунева. В школьную практику стали успешно внедряться приближённые вычисления, методика к-рых была разработана в трудах Брадиса. В старших классах в курсе стереометрии широко используются построения на проекционном чертеже по методике, разработанной Н. Ф. Четверухиным.

Однако, наряду с крупными успехами сов. школы в постановке преподавания М. в организации уч. работы, особенно в проведении урока, часто наблюдалось стремление к шаблону, творчество учителей сковывалось излишней регламентацией. Слабо развивались экспериментальные исследования в области методики М. Содержание школьного предмета М. стало заметно отставать от требований жизни.

Совр. период развития М. в школе. В 50 - 60-е гг. успехи вычислительной М. и новая вычислительная техника, возникновение совершенно новых, тесно связанных с развитием совр. производства направлений в математич. науке, рост значения математич. знаний в жизни совр. общества привлекли внимание широких общественных кругов к проблемам серьёзной модернизации школьной программы по М. и усовершенствованию методов обучения. Особое значение приобрели эти проблемы в СССР в связи с построением материально-технич. базы коммунизма. Были разработаны и введены в 1960 новые программы по М. для 8-летней школы и в 1963 для старших классов ср. школы. Содержание программ по арифметике 1 - 4-х классов при переработке существенно не изменилось (нач. арифметика с элементами наглядной геометрии). Новой программой обеспечивается преемственность курса арифметики в 5 - 6-х классах с курсом нач. школы (у уч-ся 5 - 6-х классов совершенствуются к закрепляются навыки действий над натуральными числами, проводится единая линия в решении арифметич. задач и в изучении геометрич. материала).

В 5 - 6-х классах изучается систематич. курс арифметики: в 5-м классе - натуральные числа, обыкновенные дроби; десятичные дроби, совместные действия над десятичными и обыкновенными дробями, отношение величин; в 6-м классе - приближённые вычисления, проценты, прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.

В новой программе усилено внимание к изучению десятичных дробей. Тема "Обыкновенные дроби" освобождена от усложнённых задач и примеров. Новой темой являются приближённые вычисления. Цель изучения арифметики - развитие навыков выполнения действий над целыми и дробными числами, знакомство с простейшими и широко распространёнными в повседневной практике зависимостями величин, приобретение нек-рых сведений из наглядной геометрии, применение полученных знаний при решении задач и выполнении несложных практич. расчётов. Программа по алгебре состоит из разделов: 6-й класс - алгебраич. выражения, рациональные числа, уравнения, действия над целыми алгебраич. выражениями; 7-й класс - уравнения 1-й степени с одним неизвестным, разложение многочленов на множители, алгебраич. дроби, координаты и простейшие графики, системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными; 8-й класс - счётная (логарифмич.) линейка (новая тема), квадратный корень и квадратные уравнения, функции и графики. В программе в целом усилена функциональная пропедевтика, вычислительная практика, выполнение практич. работ. Цель изучения алгебры - расширение у уч-ся представления о числе, выработка навыков выполнения тождественных преобразований алгебраич. выражений, развитие идеи функциональной зависимости и её графич. представление, овладение приёмами составления и решения уравнений и применение уравнений к решению разнообразных задач из окружающей жизни и смежных дисциплин, дальнейшее развитие вычислительных навыков. Геометрия в 8-летней школе изучается в след. объёме: 6-й класс - осн. понятия, треугольник, параллельность; 7-й класс - четырёхугольники, площадь многоугольника; окружность; 8-й класс - пропорциональные отрезки, подобие фигур, тригонометрич. функции острого угла, вписанные и описанные многоугольники. В программу включены элементы стереометрии, изучение к-рых ведётся на наглядной основе. Цель изучения геометрии - знакомство со свойствами простейших геометрич. фигур, развитие геометрич. представлений и пространственного воображения. Курс геометрии расширяет практич. навыки уч-ся в решении геометрич. и прикладных задач.

Серьёзные изменения были внесены в программу старших классов. 3 отдельных предмета прежней программы: "Алгебра", "Геометрия", "Тригонометрия", новая программа объединила в 2 предмета: "Алгебра и элементарные функции" и "Геометрия". Первый из этих предметов включает: дальнейшее изучение алгебраич. операций и уравнений, расширение понятия числа, изучение осн. элементарных функций и их графиков, знакомство с осн. понятиями математич. анализа и развитие методов вычислений.

В программу курса "Алгебра и элементарные функции" вошли: уравнения 1-й степени и неравенства, действительные числа, квадратные уравнения, степень с рациональным показателем, степенная функция, тригонометрич. функции любого аргумента, тригонометрич. теоремы сложения и их следствия, числовые последовательности, показательная и логарифмич. функции, функции и пределы, производная и её применение к исследованию функций, обобщение понятия числа и комплексные числа.

В курс геометрии включены дополнительные разделы планиметрии и систематич. курс стереометрии. При изучении геометрии получает дальнейшее развитие идея функциональной зависимости. Понятие вектора находит своё применение в алгебре и элементарных функциях, геометрии, физике. В курсе стереометрии наряду с систематич. изучением предмета даётся понятие о дедуктивном строении М.

Политехнич. направленность программы по М., связь содержания программы с требованиями жизни выражены прежде всего в таком отборе теоретич. материала, к-рый необходим для подготовки к ирактич. деятельности в условиях совр. производства, для изучения на достаточно высоком уровне смежных дисциплин (физика, химия, черчение и т. д.) и к-рый необходим для дальнейшего продолжения образования по математич., физич. или технич. специальностям. Программа предусматривает рассмотрение и решение различных прикладных задач, богатых по своему математич. содержанию. Большое общеобразовательное и воспитательное значение имеет знакомство уч-ся с вопросами истории развития, с общими идеями и методами M. Эти моменты предусмотрены программой и находят своё отражение в уч. лит-ре. Новая программа по М. для ср. школы - один из важных этапов в дальнейшем совершенствовании и обновлении содержания школьного математич. образования. В этом направлении продолжается большая подготовительная работа, ведутся науч.-пед. исследования, проводятся разнообразные эксперименты.

Дальнейшее совершенствование программы по М. идёт по пути создания единого школьного курса М. без резкого разделения на традиционно сложившиеся и во многом изолированные части: программы нач. школы и 2 концентра программы М. ср. школы. Изыскиваются пути более полного отражения в школьном курсе М. идей и методов, характеризующих совр. состояние математич. науки и лучшей связи преподавания М. с требованиями, с к-рыми встретятся уч-ся в будущей деятельности. Разрабатываются методы обучения, способствующие более полному использованию творческих возможностей уч-ся, в т. ч. выявленных новыми исследованиями способностей детей младшего школьного возраста к усвоению абстрактных математич. понятий. Наибольший успех достигнут в работе школ с математич. специализацией. Выпускники этих школ наряду с общеобразовательной и повышенной математич. подготовкой получают квалификацию вычислителя-программиста. Программа по М. школ с математич. специализацией включает предметы: алгебру и элементарные функции, комбинаторику и элементы теории вероятностей, линейную алгебру и элементы линейного программирования, математич. анализ, геометрию, элементы математич. логики, вычислительную М., математич. машины и программирование. Курс математич. анализа содержит разделы, входящие в программу, обязательную для всех школ, и, кроме того, включает интегральное исчисление, простейшие дифференциальные уравнения, ряды. В программу по геометрии включены элементы аналитич. геометрии. Изучение геометрич. преобразований завершается введением понятия о группах геометрич. преобразований.

В н.-и. ин-тах и многих школах страны ведётся изучение особенностей математич. развития детей младшего школьного возраста и возможностей более раннего преподавания алгебры, векторов, элементов теории множеств и нек-рых др. разделов экспериментальных программ. Изыскиваются наиболее целесообразные направления дальнейшей модернизации школьной программы, возможности более интенсивной работы по изучению М. с уч-ся, проявившими особую склонность к предмету. Исследуются возможные пути перехода от первоначального ознакомления детей с математич. фактами к дедуктивным доказательствам и использования аксиоматич. метода. Развиваются методы, ведущие к созданию проблемных и "игровых" ситуаций, и методы самостоятельной работы уч-ся с применением спец. дидактич. пособий. Проверяются и получают распространение различные виды программированного обучения М. В уч. процесс вводятся технич. средства обучения (различные виды обучающих машин, уч. кинофильмы, телевидение и др.). Характерной чертой в развитии экспериментальной работы является включение в творческие искания многих крупных учёных-математиков и большой массы учителей (движение учителей за лучшую организацию урока, движение за повышение воспитательного эффекта в преподавании М., развитие различных форм работы с уч-ся, проявившими особый интерес к М., и т. д.). В созданных при Моск., Ленингр., Новосибирском, Киевском ун-тах школах-интернатах и в ряде др. школ преподают и разрабатывают экспериментальные программы и уч. пособия академики А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев, М. А. Лаврентьев и мн. др. учёные-математики.

Одной из важных особенностей совр. периода в развитии М. в школе является осуществление на достаточно высоком уровне массового математич. образования во всех социалистич. странах, к-рое обеспечивается повышением материального и культурного уровня трудящихся, широкой подготовкой квалифицированных учителей для нач. и ср. школ.

В школах СССР и др. социалистич. стран большое внимание уделяется различным формам внеклассной работы по М., способствующим развитию у школьников интереса к предмету и выявлению уч-ся, имеющих особую склонность к М. (см. Математический кружок, Конкурсы и олимпиады).

Возросшая в последние годы значимость математич. образования привела к исследованию проблем обучения М. и в капиталистич. странах. Успехи СССР в освоении Космоса, показавшие всему миру преимущество сов. системы образования и подготовки науч. кадров, придали этим исследованиям особую интенсивность. В США созданы н.-и. центры, ведущие экспериментальную работу с уч-ся разного возраста в школах различного типа. Создаются экспериментальные учебники. Исследуются возможности применения технич. средств обучения. Наибольшую известность приобрели эксперименты по программированному обучению М. и практика применения обучающих машин. Во Франции и нек-рых др. странах н.-и. работы в области преподавания М. в школе ведутся под идейным влиянием математиков, входящих в коллектив авторской группы "Н. Бурбаки" и психологич. школы Ж. Пиаже. Новые идеи в постановке преподавания геометрии, связанные с ранним введением понятия векторного пространства, выдвинуты проф. Г. Шоке. В Бельгии большую экспериментальную работу по модернизации преподавания М. и созданию новых учебников ведёт проф. Брюссельского ун-та Г. Папи. Серия экспериментальных учебников создана в США, Великобритании, Франции, а также комиссией по модернизации преподавания М. стран Сев. Европы (Швеция, Норвегия, Дания). Разнообразная экспериментальная работа проводится в Англии и других странах. В то же время в капиталистич. странах в общеобразовательных массовых школах до настоящего времени на изучение М. во всех классах не предоставляется даже минимально необходимого количества недельных часов, зафиксированных в рекомендациях междунар. и региональных съездов, совещаний и симпозиумов по вопросам преподавания М. В ряде стран (напр., США, Англии) ещё применяются т. н. тесты одарённости, позволяющие осуществлять дискриминационные меры по отношению к детям, не выполнившим установленные задания. Отсутствие во многих капиталистич. странах обязательных гос. школьных программ по М. позволяет вводить в массовых школах заниженные программы; в то же время в частных школах, где обучаются дети из обеспеченных семей, преподавание М. находится на более высоком уровне. Объём знаний выпускников ср. школ часто определяется программами вступительных экзаменов по М. в вузы. Каждый вуз разрабатывает свои программы вступительных экзаменов.

В капиталистич. странах по существу не разрешена проблема подготовки квалифицированных учителей М. для массовой школы, что также является одной из причин сравнительно невысокого уровня преподавания М. в общедоступной школе.

Лит.: Устав гимназий и прогимназий ведомства Мин-ва нар. просв. 1871 г., СПБ, 1871; Марголин Д., Правила и программы высш. нач. училищ, К., 1913; Сб. программ и инструкций по преподаванию математики в Зап. Европе. Под ред. Д. М. Синцова, М., 1914; Алексеев П., Правила и программы всех классов мужских гимназий и прогимназий ведомства Мин-ва нар. проев., О., 1915; его же, Правила и программы всех классов реальных училищ ведомства Мин-ва нар. проев., О., 1916; Программы семилетней единой трудовой школы, М , 1921; Программы и методич. зап. единой трудовой школы, М.-Л., 1927; Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., т. 1 - 2, 2 изд., М.-Л., 1933 - 34; Никитин Н. Н., Преподавание математики в сов. школе. 1917 - 1947 гг., "Математика в школе", 1947, № 5; Андронов И. К., Итоги 40-летнего развития математич. образования в СССР, там же, 1957, № 5; Юшкевич А. П., Математика и её преподавание в России в XVII- XIX вв., там же, 1947 - 49; его же. История математики в ср. века, М., 1961; Ланков А. В., К истории развития передовых идей в рус. методике математики, М., 1951; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до сер. XIX столетия, пер. с нем., М., 1960; Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Программы восьмилетней школы. Математика, М., 1962; Докл. о работе международного симпозиума по преподаванию математики в школе. Будапешт, 27 авг. - 8 сент. 1962, [Будапешт, 1963]; Программы ср. школы на 1964/65 уч. год. Математика, М., 1964; Маркушевич А. И., К вопросу о реформе школьного курса математики. "Математика в школе", 1964, № 6, с. 4 - 8.

Р. С. Черкасов. Москва.

Источники:

1. Педагогическая энциклопедия/Глав. ред. И. А. Каиров и Ф. Н. Петров. т. 2. - М.: Советская энциклопедия, 1965. - 912 с. с илл., 5 л. илл.